Karekök Elle Nasıl Hesaplanır?

2 Yöntem:Asal Çarpanlarına Ayırmayı KullanmakKarekökleri Elle Bulmak

Hesap makinelerinden önce, öğrenciler ve profesörler karekökleri elle hesaplamak zorundalardı. Bu göz korkutucu işlemin üstesinden gelmek için kimisi kabaca yaklaşık bir değer, kimisi de tam bir değer veren birkaç farklı yöntem geliştirilmiştir. Bir sayının karekökünü basit işlemlerle nasıl bulunacağını öğrenmek için aşağıdaki 1'inci Adımdan başlayabilirsin.

1
Asal Çarpanlarına Ayırmayı Kullanmak

  1. 1
    Sayını tam kare çarpanlarına böl. Bu yöntem, bir sayının karekökünü bulmak için sayının çarpanlarını kullanır (sayıya bağlı olarak tam bir sayısal cevap veya yaklaşık bir tahmin olabilir). Bir sayının çarpanları bu sayının oluşması için çarpılan herhangi bir sayı dizisidir.[1] Örneğin; 8’in çarpanlarının 2 ve 4 olduğunu söyleyebilirsin çünkü 2 × 4 = 8. Diğer taraftan, tam kareler diğer tam sayıların çarpımı olan tam sayılardır. Örneğin; 25, 36 ve 49 tam karelerdir çünkü bunlar sırasıyla 52, 62 ve 72 değerlerine eşittir. Tam kare çarpanlar, tahmin edeceğin gibi, ayrıca tam kare olan çarpanlardır. Bir karekökü asal çarpanlarına ayırarak bulmaya başlamak için, önce sayını tam kare çarpanlarına ayırmaya çalış.
    • Hadi bir örnek yapalım. 400’ün karekökünü elle bulmak istiyoruz. Başlarken, sayıyı tam kare çarpanlarına böleriz. 400 sayısı 100’ün katı olduğuna göre, bu sayının 25’e tam bölünebildiğini (bir tam kare olduğunu) biliyoruz. Hızlı bir zihin hesabı yaparsak 400’de 25’in 16 kez olduğunu buluruz. 16 sayısı da ne tesadüftür ki bir tam karedir. Böylece, 400’ün tam kare çarpanları 25 ve 16 bulunur çünkü 25 × 16 = 400.
    • Bunu şu şekilde yazarız: √(400) = √(25 × 16)
  2. 2
    Tam kare çarpanların kareköklerini al. Kareköklerin çarpım özelliğine göre verilen herhangi bir a ve b sayısı için; √(a × b) = √(a) × √(b). Bu özellik sayesinde, cevabı elde etmek için tam kare çarpanlarımızın kareköklerini alarak onları birbiriyle çarpabiliriz.
    • Örneğimizde; 25 ve 16’nın kareköklerini alıyoruz. Şöyle ki:
      • √(25 × 16)
      • √(25) × √(16)
      • 5 × 4 = 20
  3. 3
    Eğer sayı çarpanlarına tam olarak ayrılamıyorsa cevabı en basit haline getir. Gerçek hayatta çoğu kez kareköklerini bulman gerekecek sayılar 400 gibi tam kare çarpanları olan güzel sayılar olmayacaktır. Bu gibi durumlarda, tam sayı olan bir cevap bulmak mümkün olmayabilir. Bunu yerine, bulabildiğin tam kare çarpanları bularak daha küçük terimli, daha basit, düzenlenmesi daha kolay bir sonuç elde edebilirsin. Bunu yapmak için, sayını tam kare çarpanlar ile tam kare olmayan çarpanların birleşimi olan bir sayı haline getir, sonrasında sadeleştir.
    • Örnek olarak 147’nin karekökünü kullanalım. 147 iki tam karenin çarpımı değildir, bu nedenle yukarıdaki gibi bir tam sayı elde edemeyiz. Ancak, bu sayı tam kare olan bir sayı (49) ile başka bir sayının (3) çarpımından oluşur. Bu bilgiyi kullanarak cevabımızı aşağıdaki gibi en basit haliyle yazabiliriz:
      • √(147)
      • = √(49 × 3)
      • = √(49) × √(3)
      • = 7 × √(3)
  4. 4
    Gerektiği durumda tahmin yürüt. Kareköklü ifade en basit halindeyken, kalan herhangi bir karekök değerini tahmin edip bununla çarparak yaklaşık bir sayısal değer elde etmek genelde oldukça kolaydır. Yaklaşık değerleri belirlemene yardımcı olacak bir şey de karekök içerisindeki sayının iki tarafında da tam kareler bulmaktır. Karekök içerisindeki sayının ondalık değerinin bu iki sayı arasında bir yerde olduğunu bildiğinden, bu ikisi arasındaki değeri tahmin edebileceksin.
    • Şimdi örneğimize dönelim. 22 = 4 ve 12 = 1 olduğundan, √(3)’ün 1 ve 2 arasında bir yerde - muhtemelen 2’ye daha yakın - olduğunu biliyoruz. Tahminimiz 1,7 olacak. 7 × 1,7 = 11,9. İşlemimizi hesap makinesinde kontrol edersek asıl cevap olan 12,13 değerine oldukça yakın olduğumuzu görebiliriz.
      • Bu büyük sayılarda da işe yarar. Örneğin; √(35) değerinin 5 ve 6 arasında (muhtemelen 6’ya çok yakın) olduğu tahmininde bulunabilirsin. 52 = 25 ve 62 = 36. 35, 25 ve 36 arasındadır, bu nedenlekarekökü de 5 ve 6 arasında olmalıdır. 35 ile 36 arasında 1 sayı olduğundan, karekökünün 6’dan biraz küçük olduğunu çok rahat söyleyebiliriz. Hesap makinesi ile kontrol edildiğinde cevabın 5,92 olduğunu, yani haklı olduğumuzu görebiliriz.
  5. 5
    İlk adım olarak sayını en küçük ortak katlarına indirge. Eğer bir sayının asal çarpanlarını kolayca belirleyebiliyorsan (ayrıca asal sayı olan çarpanlar) tam kare çarpanlarını bulmak şart değildir. Sayını en küçük ortak katları şeklinde yaz. Sonra, çarpanların arasında eşleşen asal çarpan çiftlerine bak. Eşleşen iki asal sayı bulduğunda, bu sayıların ikisini de karekökten sil ve bu sayılardan birini karekökün dışına yerleştir.
    • Bir örnek olarak, bu yöntemi kullanarak 45’in karekökünü bulalım. 45 = 9 × 5 ve 9 = 3 × 3 olduğunu biliyoruz. Böylece, karekökümüzü çarpanları cinsinden şu şekilde yazabiliriz: √(3 × 3 × 5). Karekökü en basit haline getirmek için 3’leri kaldırarak 3’lerden birini karekök dışına koy: 3√(5). Buradan sonra tahminde bulunmak kolay.
    • Son bir örnek olarak 88’in karekökünü bulmaya çalışalım:
      • √(88)
      • = √(2 × 44)
      • = √(2 × 4 × 11)
      • = √(2 × 2 × 2 × 11). Karekök içerisinde birden fazla 2 var. 2 asal bir sayı olduğundan, bir çifti kaldırarak bunlardan birini karekök dışına taşıyabiliriz.
      • = Karekökümüzün en basit hali 2 √(2 × 11) veya 2 √(2) √(11). Buradan da istersek √(2) ve √(11) değerleri için tahminde bulunarak yaklaşık bir değer bulabiliriz.

2
Karekökleri Elle Bulmak

Uzun Bir Bölme Algoritması Kullanmak

  1. 1
    Sayının rakamlarını çiftler halinde ayır. Bu yöntem basamak basamak tam bir karekök bulmak için uzun bölmeye benzer bir işlemdir. Bu şart olmasa da, çalışma alanını ve sayını çalışılabilir birimler halinde görsel olarak düzenlersen, işlemi yapman daha kolay bir hâl alabilir. İlk olarak, çalışma alanını iki bölüme ayıran dikey bir çizgi çiz, sonra sağ bölümü küçük bir üst bölüme ve daha büyük bir alt bölüme ayırmak için sağ bölümün üst kısmının yakınına bir kısa çizgi çiz. Sonrasında, sayının rakamlarını ondalık ayracından başlayarak çiftlere ayır. Örneğin; bu kurala uyarsak 79.520.789.182,47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" olur. Sayını soldaki boşluğun en üzerine yaz.
    • Örnek olarak, 780,14’ün karekökünü hesaplamaya çalışalım. Çalışma alanını yukarıdaki gibi bölmek için iki çizgi çiz ve soldaki boşluğun en üstüne "7 80, 14" yaz. En soldaki birimin bir çift değil de tek bir sayı olması sorun değil. Cevabını (780,14’ün karekökü) sağ üstteki boşluğa yaz.
  2. 2
    Karesi en soldaki sayıdan (veya çiftten) küçük eşit olan en büyük n tam sayısını bul. Sayının en solundaki bir sayı çifti yahut tek bir sayı olan "birimden" başla. Bu birimden küçük eşit olan en büyük tam kareyi bul, sonra bu tam karenin karekökünü al. Bu sayıya n diyelim. Sağ üst boşluğa n ve sağ alttaki çeyreğe n’in karesini yaz.
    • Örneğimizde, en soldaki "birim" 7 sayısıdır. 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9 olduğunu bildiğimizden, n = 2 diyebiliriz çünkü bu, karesi 7’den küçük eşit olan en büyük tam sayıdır. Sağ üst çeyreğe 2 yaz. Bu, cevabımızın ilk basamağıdır. Sağ alt çeyreğe 4 (2’nin karesi) yaz. Bu sayı sonraki adımda önemli olacak.
  3. 3
    Az önce hesapladığın sayıyı en soldaki çiftten çıkar. Uzun bölmede olduğu gibi, sonraki adım az önce bulduğumuz kareyi analiz ettiğimiz birimden çıkarmaktır. Bu sayıyı ilk birimin altına yaz ve çıkar, cevabı da altına yaz.
    • Örneğimizde, 7’nin altına 4 yazacağız, sonra çıkaracağız. Bu bize 3 cevabını verecektir.
  4. 4
    Sonraki çifti aşağı indir. Karekökünü hesapladığın sayının sonraki "birimini" az önce bulduğun çıkarılan değerin yanına indir. Ardından, sağ üst çeyrekteki sayıyı iki ile çarp ve bunu sağ alttaki çeyreğe yaz. Az önce yazdığın sayının yanına '"_×_="' yazarak sonraki adımda yapacağın çarpma işlemi için bir boşluk bırak.
    • Örneğimizdeki sayımızın sonraki çifti "80". Sol çeyrekteki 3’ün yanına "80" yaz. Sonra, sağ üstteki sayıyı iki ile çarp. Bu sayı 2 olduğundan, 2 × 2 = 4. Sağ alt çeyreğe "'4"' ve ardından _×_= yaz.
  5. 5
    Sağ çeyrekteki boş alanları doldur. Sağ çeyreğe az önce yazdığın boşlukların her birine aynı tam sayıları yazman gerekir. Bu tam sayı, sağ çeyrekteki çarpma işleminin sonucunun soldaki mevcut sayıdan küçük eşit olmasını sağlayan en büyük tam sayı olmalı.
    • Örneğimizde, boş alanları 8 ile doldurmak bize 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384 sonucunu verir. Bu, 380’den büyüktür. Bundan dolayı, 8 fazla büyüktür fakat 7 muhtemelen eşitliği sağlayacaktır. Boş alanlara 7 yaz ve çöz: 4(7) × 7 = 329. 7 sayısı işlemi doğruluyor çünkü 329 380’den küçüktür. Sağ üst çeyreğe 7 yaz. Bu, 780,14’ün karekökündeki ikinci basamaktır.
  6. 6
    Az önce hesapladığın sayıyı soldaki mevcut sayıdan çıkar. Uzun bölme tarzı çıkarma zinciri ile devam et. Sağ çeyrekteki çarpma probleminin sonucunu soldaki mevcut sayıdan çıkar, sonucunu alta yaz.
    • Örneğimizde, 380’den 329’u çıkararak 51 sonucunu elde edeceksin.
  7. 7
    4’üncü adımı tekrar et. Karekökünü hesapladığın sayının sonraki birimini aşağı indir. Sayındaki ondalık ayracına ulaştığında, sağ üst çeyrekteki cevabına bir ondalık ayracı ekle. Sonra, sağ üstteki sayıyı 2 ile çarp ve bunu yukarıdaki gibi ("_ × _") boş çarpma işleminin yanına yaz.
    • Örneğimiz 780,14’teki ondalık ayracına vardığımız için sağ üstteki mevcut cevabımızdan sonra bir ondalık ayracı ekle. Ardından, sol çeyrekteki sıradaki birimi (14) aşağı indir. Sağ üstteki sayı (27) çarpı 2, 54 yapar, bu nedenle sağ alttaki çeyreğe "54 _×_=" yaz.
  8. 8
    5 ve 6’ncı adımları tekrar et. Sağdaki boşluğa, soldaki mevcut sayıdan küçük eşit bir cevap sağlayan en büyük basamağı bulup yaz. Sonra, problemi çöz.
    • Örneğimizde, 549 × 9 = 4941 ve bu da soldaki sayıya (5114) küçük eşittir. 549 × 10 = 5490 ve bu fazla büyük olduğu için cevabımız 9’dur. Sağ üstteki çeyreğe sonraki basamak olarak 9 yaz ve çarpmanın sonucunu soldaki sayıdan çıkar: 5144 - 4941 = 173.
  9. 9
    Basamakları hesaplamaya devam et. Soldaki bir çift sıfırı aşağı indir ve 4, 5 ve 6’ncı adımları tekrar et. Daha doğru bir sonuç için bu işlemi cevabındaki yüzüncü, bininci vs. basamakları bulmak için tekrarlamaya devam et. İstenilen ondalık değerine kadar cevabı bulana dek bu döngüyü devam ettir.

İşlemi Anlamak

  1. 1
    Karekökünü hesapladığın sayının bir karenin alanı olan S olduğunu düşün. Bir karenin alanı L2 ve buradaki L bir kenarın uzunluğu olduğundan, sayının karekökünü bulmaya çalışman, o karenin kenar uzunluğu olan L’yi hesaplamaya çalışman demektir.
  2. 2
    Cevabının her bir basamağı için bir harf değişkeni belirt. L’nin (hesaplamaya çalıştığımız karekök) ilk basamağı olarak A değişkenini belirle. İkinci basamağı B, üçüncüsü C vb. olacak.
  3. 3
    Başlangıç sayının her bir "birimi" için harf belirle. S’in (başlangıç değerin) ilk basamak çifti için Sa değişkenini, ikinci basamak çiftini için Sb vb. belirle.
  4. 4
    Bu yöntemin uzun bölme ile ilişkisini anla. Bu karekök bulma yöntemi esasında başlangıç sayını kareköküne bölen ve böylece cevap olarak onun karekökünü veren uzun bir bölme işlemidir. Her seferinde sonraki bir basamakla ilgilendiğin uzun bir bölme işleminde olduğu gibi, burada da her seferinde sonraki iki basamakla ilgilenirsin (ki bu da karekök için her seferinde diğer basamağa karşılık gelir).
  5. 5
    Karesi Sa’ya küçük eşit olan en büyük sayıyı bul. Cevabımızdaki ilk basamak olan A, karesi Sa’yı aşmayan (yani A öyle bir sayı ki A² ≤ Sa < (A+1)²) en büyük tam sayıdır. Örneğimizde, Sa = 7 ve 2² ≤ 7 < 3², yani A = 2.
    • Örneğin; 88962 sayısını uzun bölme ile 7’ye bölersek, ilk adım benzer olacaktır: 88962’nin ilk basamağına (8) bakar ve 7 ile çarpıldığında 8’e küçük eşit olan en büyük basamağı istersin. Esasında, 7×d ≤ 8 < 7×(d+1) eşitliğini sağlayan d değerini buluyorsun. Bu durumda, d 1’e eşit olacaktır.
  6. 6
    Alanını çözmeye başladığın kareyi görselleştir. Başlangıç sayının karekökü olan cevabın L, S (başlangıç sayın) alanına sahip bir karenin uzunluğunu tanımlar. A, B, C değerlerin L değerindeki basamakları temsil eder. Bunu başka bir şekilde şöyle ifade edebiliriz: iki basamaklı bir cevap için, 10A + B = L, üç basamaklı bir cevap için 100A + 10B + C = L vb.
    • Örneğimizde, (10A+B)² = L2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B’nin cevabımız olan L’yi temsil ettiğini ve buradaki B’nin birler basamağı, A’nın da onlar basamağı olduğunu unutma. Örneğin; A=1 ve B=2 için 10A+B, 12 sayısıdır. (10A+B)² tüm karenin alanıdır ve 100A² karenin içindeki en büyük karenin alanı iken en küçük karenin alanı ve 10A×B ise kalan her iki dikdörtgenin alanıdır. Bu uzun ve anlaşılması güç işlemi yaparak tüm karenin alanını, içindeki kare ve dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak buluyoruz.
  7. 7
    Sa’dan A²’yi çıkar. S’den bir çift basamak (Sb) indir. Sa Sb az önce büyük iç karenin alanını çıkardığın karenin neredeyse toplam alanıdır. Kalan kısma 4’üncü adımda elde ettiğimiz N1 sayısı diyelim. (Örneğimizde N1 = 380). N1 = 2×10A×B + B² (iki dikdörtgen + küçük üçgenin alanı)
  8. 8
    N1 = 2×10A×B + B² ifadesini ara, bu ifade ayrıca N1 = (2×10A + B) × B şeklinde de yazılır. Örneğimizdeki N1 (380) ve A (2) değerlerini biliyorsun, bu nedenle B’yi bulman gerekiyor. B büyük ihtimalle tam sayı olmayacaktır, bu nedenle aslında en büyük B tam sayısını bulmalısın ki (2×10A + B) × B ≤ N1 olsun. Böylece N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1) eşitliğini elde edersin.
  9. 9
    Çöz. Bu denklemi çözmek için, A’yı 2 ile çarp, onu onlar basamağına taşı (bu, 10 ile çarpmaya eşittir), B’yi birler basamağına yerleştir ve sonuç sayıyı B ile çarp. Diğer bir deyişle, (2×10A + B) × B denklemini çöz. Bu, 4’üncü adımda sağ alt çeyreğe "N_×_=" (N=2×A ile) yazdığında yaptıklarının tamamen aynısıdır. 5’inci adımda, (2×10A + B) × B ≤ N1 eşitliğini sağlaması için altı çizili boşluğa uyan en büyük B tam sayısını bulursun.
  10. 10
    Toplam alandan (2×10A + B) × B alanını çıkar. Bu sana henüz hesaba katılmayan (ve benzer şekilde sonraki basamakları hesaplamak için kullanılacak olan) S-(10A+B)² alanını verir.
  11. 11
    Sıradaki C basamağını hesaplamak için işlemi tekrar et. Soldaki N2’yi elde etmek için S’nin bir sonraki çiftini (Sc) indir ve (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 ("_×_=" peşine iki kez iki basamaklı "A B" sayısını yazmaya eşdeğerdir) eşitliğini sağlayan en büyük C değerini bul. Daha önce olduğu gibi, boşluklara yerleştirildiğinde N2’den küçük eşit olan bir cevap sağlayan en büyük basamağı bul.

İpuçları

  • Bu yöntem sadece 10 (ondalık) tabanında değil, tüm tabanlarda kullanılabilir.
  • Örnekte, 1,73 "kalan" olarak düşünülebilir : 780,14 = 27,9² + 1,73.
  • Sürekli kesirlerin kullanıldığı alternatif bir yöntemde şu formül kullanılabilir: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Örneğin; 780,14’ün karekökünü hesaplamak için, karesi 780,14’e en yakın olan tam sayı 28’dir, yani z=780,14, x=28 ve y=-3,86. Sadece x + y/(2x) denklemine tahmini değer konulduğunda halihazırda 78207/2800 veya yaklaşık 27,931(1); sonraki terim ise 4374188/156607 veya yaklaşık 27,930986(5) şeklinde elde edilir. Her terim bir öncekine yaklaşık 3 ondalık doğruluk sağlar.
  • Hesabı en rahat ettiğin şekilde göster. Bazı insanlar sonucu başlangıç sayısının üzerine yazarlar.
  • Bir sayıda ondalık ayracını iki basamak ilerletmek (100 kat) karekökündeki ondalık ayracını bir basamak (10 kat) ileri taşır.

Uyarılar

  • Basamakları ondalık ayracından çiftler halinde ayırdığından emin ol. 79.520.789.182,47897 sayısını "79 52 07 89 18 2,4 78 97" şeklinde ayırmak yararsız bir sayı elde etmeye neden olur.

Makale Bilgisi

Kategoriler: Eğitim ve İletişim

Diğer dillerde:

English: Calculate a Square Root by Hand, Italiano: Calcolare la Radice Quadrata a Mano, Español: calcular una raíz cuadrada, Deutsch: Die Quadratwurzel von Hand berechnen, Português: Calcular uma Raiz Quadrada à Mão, Français: calculer une racine carrée à la main, Русский: найти квадратный корень числа вручную, 中文: 手算平方根, Nederlands: De wortel van een getal uitrekenen zonder rekenmachine, Bahasa Indonesia: Menghitung Akar Kuadrat Secara Manual, Čeština: Jak vypočítat odmocninu bez kalkulačky, ไทย: คำนวณหารากที่สองด้วยมือ, हिन्दी: हाथों से वर्गमूल की गणना करें, 한국어: 손으로 루트 값 계산하기

Bu sayfaya 275 defa erişilmiş.

Bu makale işine yaradı mı?