Cebirsel Olarak İki Doğrunun Kesişimi Nasıl Bulunur?

Bu Makalede:İki Doğrunun Kesişimini Bulmakİkinci Dereceden Denklemli Problemler6 Referans

Doğrular iki boyutlu bir grafik üzerinde kesiştiklerinde bir noktada buluşurlar[1] ve o nokta sadece tek bir - ve - koordinat kümesiyle tanımlanır. İki doğru da o noktadan geçtiği için - ve - koordinatları iki denklemi de sağlamalıdır. Birkaç ilave teknikle, benzer mantığı kullanarak parabollerin ve diğer kuadratik eğrilerin kesişme noktalarını bulabilirsin.

1
İki Doğrunun Kesişimini Bulmak

  1. 1
    Her doğru için solda olacak şekilde denklem yaz. Eğer gerekliyse , eşittir işaretinin bir tarafında kalacak şekilde denklemi yeniden düzenle. Eğer denklemde yerine veya kullanılıyorsa o terimi ayır. Unutma, iki tarafa da aynı işlemi yaparak terimleri yok edebilirsin.
    • Eğer denklemleri bilmiyorsan elindeki bilgiye dayanarak onları bul.
    • Örnek: İki doğrun ve . İkinci denklemdeki ’yi yalnız bırakmak için iki tarafa da 12 ekle:
  2. 2
    Denklemin sağ taraflarını birbirlerine eşitle. İki doğrunun da ve değerlerinin aynı olduğu bir noktayı arıyoruz; bu nokta doğruların kesiştiği noktadır. İki denklemin sol tarafında sadece var, yani sağ tarafların birbirine eşit olduğunu biliyoruz. Bunu ifade eden yeni bir denklem yaz.
    • Örnek: ve olduğunu biliyoruz, bu sebeple .
  3. 3
    x’i bul. Yeni denklemde sadece bir değişken var, yani . Bunu, her iki tarafta aynı işlemi yaparak çöz. ’li terimleri denklemin bir tarafına al, ardından biçimine getir. (Eğer mümkün değilse bu bölümün en sonuna geç.)
    • Örnek:
    • İki tarafa da ekle:
    • İki taraftan da 3 çıkar:
    • İki tarafı da 3’e böl:
    • .
  4. 4
    Bu değerini ’yi bulmak için kullan. Her iki doğru için denklemi seç. Denklemdeki her ’in yerine bulduğun cevabı koy. ’yi bulmak için işlemi yap.
    • Örnek: ve
  5. 5
    İşlemini kontrol et. Aynı sonucu elde edip etmeyeceğini görmek için bulduğun değerini diğer denklemde yerine koymak iyi bir fikirdir. Eğer için farklı bir sonuç elde edersen geri dön ve işlemindeki hataları kontrol et.
    • Örnek: ve
    • Bu öncekiyle aynı cevap. Herhangi bir hata yapmamışız.
  6. 6
    Kesişimin ve koordinatlarını yaz. İki doğrunun kesiştiği noktanın ve değerlerini çözmüş olduk. İlk nokta olacak şekilde noktayı bir koordinat çifti olarak yaz.
    • Örnek: ve
    • İki doğru (3,6) noktasında kesişir.
  7. 7
    Beklenmedik sonuçların üstesinden gel. Bazı denklemlerde ’i çözmek imkânsızdır. Bu, her zaman hata yaptığın anlamına gelmez. Bir çift doğrunun özel bir çözüme sahip olmasının iki yolu vardır:
    • Eğer iki doğru paralel ise kesişmezler. ’li terimler birbirini götürür ve denklem yanlış bir ifade verir ( gibi). Cevap olarak "doğrular kesişmiyor" ya da "bir çözüm yok" yaz.
    • Eğer iki denklem de aynı doğruyu tanımlıyorsa her yerde "kesişirler". ’li terimler birbirini götürür ve denklem doğru bir ifade verir. ( gibi). Cevap olarak "iki doğru birbirine eşit" yaz.

2
İkinci Dereceden Denklemli Problemler

  1. 1
    İkinci dereceden denklemleri tanı. İkinci dereceden bir denklemde bir veya iki değişken, kareli ifade şeklindedir ( ya da ) ve daha büyük üslü sayı yoktur. Bu denklemlerin belirttiği doğrular eğridir, yani bir doğru ile 0, 1 ya da 2 noktada kesişebilirler. Bu bölüm, problemin için nasıl 0, 1 ya da 2 çözüm bulacağını öğretecek.
    • Parantezli denklemleri, ikinci dereceden olup olmadıklarını kontrol etmek için genişlet. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemdir, çünkü şeklinde genişler.
    • Bir daire ya da elips denkleminde ve ’li ifadelerin ikisi de vardır.[2][3] Eğer bu özel durumlarla ilgil sorun yaşıyorsan aşağıdaki İpuçları bölümüne bak.
  2. 2
    Denklemleri y cinsinden yaz. Gerekirse her denklemi, y bir tarafta yalnız olacak şekilde yeniden yaz.
    • Örnek: ve eğrilerinin kesişimini bul.
    • İkinci dereceden denklemleri y cinsinden yeniden yaz:
    • ve .
    • Bu örnekte bir tane ikinci dereceden denklem ve bir tane lineer denklem vardır. İki tane ikinci dereceden denklem bulunan problemler benzer yoldan çözülür.
  3. 3
    y’yi yok etmek için iki denklemi birleştir. İki denklemi de y’ye eşitledikten sonra y’nin bulunmadığı tarafların birbirine eşit olduğunu biliyorsun.
    • Örnek: ve
  4. 4
    Bir taraf sıfıra eşit olacak şekilde yeni bir denklem kur. Tüm terimleri bir tarafta toplamak için standart cebirsel teknikleri kullan. Böylece problem bir sonraki adımda çözebileceğimiz hâle gelecektir.
    • Örnek:
    • İki taraftan x çıkar:
    • İki taraftan 7 çıkar:
  5. 5
    İkinci dereceden denklemi çöz. Bir tarafı sıfıra eşitledikten sonra ikinci dereceden bir denklemi çözmek için üç yol vardır. Yöntemlerin kolaylığı kişiden kişiye göre değişir. İkinci dereceden formül veya "tam kareye tamamlama" konusunu okuyabilir ya da aşağıdaki çarpanlarına ayırma yöntemi örneğini takip edebilirsin:
    • Örnek:
    • Çarpanlarına ayırmanın amacı bu denklemi oluşturacak iki çarpanı bulmaktır. İlk terimden başlayalım; ’nin x ve x şeklinde ayrılabileceğini biliyoruz. Bunu göstermek için (x    )(x    ) = 0 yaz.
    • Son terim -6. Eksi altıyı veren çarpan çiftlerini listele: , , ve .
    • Ortadaki terim x (1x şeklinde de yazılabilir). 1 cevabını elde edene kadar her çarpan çiftini topla. Doğru çarpan çifti çünkü .
    • Cevabındaki boşlukları şu çarpan çiftleriyle doldur: .
  6. 6
    x’in iki çözümünü gözden kaçırma. Eğer çok hızlı çalışırsan problemin bir çözümünü bulabilir ve ikincisini fark etmeyebilirsin. İki noktada kesişen doğruların iki x değeri şöyle bulunur:
    • Örnek (çarpanlarına ayırma): Son olarak denklemini elde ettik. Eğer parantez içindeki çarpanlardan biri 0’a eşitse denklem doğrudur. Çözümlerden biri . Diğer çözüm .
    • Örnek (ikinci dereceden denklem ya da tam kareye tamamlama): Eğer denklemini çözmek için bu yöntemlerden birini kullandıysan bir karekök gelecektir. Örneğin, denklemimiz olur. Bir karekökün iki farklı şekilde sadeleştirilebildiğini unutma: ve . Her olasılık için bir tane olacak şekilde iki denklem yaz ve her bir x’i çöz.
  7. 7
    Bir çözümlü veya çözümsüz problemleri çöz. Birbirine belli belirsiz dokunan iki doğru bir noktada kesişir ve hiç dokunmayan iki doğru hiç kesişmez. Bunları şöyle tanıyabilirsin:
    • Bir çözümlü: Problem çarpanlarına ayrıldığında iki benzer çarpan elde edilir ((x-1)(x-1) = 0). İkinci dereceden denklemde yerine konulduğunda kareköklü ifade olur. Sadece bir denklemi çözmen gerekir.
    • Çözümsüz: Gereksinimleri karşılayan çarpan yoktur (toplamı orta terime eşit olan). İkinci dereceden denklemde yerine konulduğunda karekök işaretinin altında negatif bir sayı elde edersin ( gibi). Cevap olarak "çözüm yok" yaz.
  8. 8
    x değerlerini her iki asıl denklemde de yerine koy. Kesişiminin x değerini elde ettiğinde, bu değeri başlangıçtaki denklemlerden birinde yerine koy. Denklemi y değerini bulmak için çöz. Eğer ikinci bir x değerin varsa bunun için de işlemi tekrar et.
    • Örnek: İki çözüm bulduk, ve . Doğrularımızdan birinin denklemi . ve değerlerini yerine koyup denklemleri çözdüğünde ve sonucuna ulaşırsın.
  9. 9
    Nokta koordinatlarını yaz. Şimdi, cevabını kesişim noktasının x ve y değeri ile koordinat biçiminde yaz. Eğer iki cevabın varsa doğru x ve y değerlerini eşleştirdiğinden emin ol.
    • Örnek: değerini yerine koyduğumuzda, buluruz, yani kesişimlerden birisi (2, 9) noktasında. İkinci çözümümüz için aynı işlemi yaptığımızda diğer kesişimin (-3, 4) noktasında olduğunu buluruz.

İpuçları

  • Bir daire ya da elips denklemlerinde bir ve bir terimi bulunur. Bir daire ile bir doğrunun kesişim noktalarını bulmak için lineer denklemdeki x’i çöz.[4] Bulduğun x değerini daire denkleminde yerine koyduğunda daha kolay bir ikinci dereceden denklem elde etmiş olacaksın. Bu problemler yukarıdaki yöntemde bahsedildiği gibi 0, 1 ya da 2 çözüme sahip olabilir.
  • Bir daire ve bir parabol (veya başka bir kuadratik eğri) 0, 1, 2, 3 ya da 4 çözüme sahip olabilir. Her iki denklemdeki kareli değişkenleri bul; örneğin x2. ’yi çöz ve cevabı diğer denklemdeki ’nin yerine koy. 0, 1 ya da 2 çözüm elde etmek için y’yi çöz. Her çözümü tekrar asıl ikinci dereceden denklemde yerine koy ve x’i çöz. Bunların her birinin 0, 1 ya da 2 çözümü olabilir.

Makale Bilgisi

wikiHow bir “wiki”dir. Bu, makalelerimizin çoğunun birden fazla yazar tarafından ortaklaşa yazıldığı anlamına gelir. Bu makaleyi oluşturmak için, zaman içinde makaleyi düzenlemek ve iyileştirmek üzere bazıları isimsiz, 19 kişi çalıştı.

Kategoriler: Eğitim ve İletişim

Diğer dillerde:

English: Algebraically Find the Intersection of Two Lines, Español: encontrar algebraicamente el punto de intersección de dos líneas, Italiano: Trovare Algebricamente l'Intersezione di due Rette, Русский: вычислить точку пересечения двух прямых, Français: déterminer algébriquement le point d'intersection de deux courbes, Bahasa Indonesia: Mencari Titik Perpotongan Dua Garis dengan Aljabar, Nederlands: Het snijpunt van twee lijnen berekenen, Tiếng Việt: Tìm giao điểm bằng phương pháp đại số, العربية: إيجاد نقطة تقاطع خطين مستقيمين بطريقة جبرية, 日本語: 代数計算を用いて2つの線が交わる点を求める

Bu sayfaya 288 defa erişilmiş.
Bu makale işine yaradı mı?