Bir Teğet Doğrunun Denklemi Nasıl Bulunur?

Ortak yazarları Jake Adams

Düz bir doğrunun aksine, bir eğrinin eğimi grafikte ilerledikçe değişir. Matematik, öğrencilere bu grafikteki her noktanın bir eğimle veya "anlık değişim oranı" ile tanımlanabileceği fikrini sunar. Teğet doğru, grafikteki tam o noktadan geçen, bu eğime sahip düz bir doğrudur. Teğet denklemini bulmak için asıl denklemin türevini nasıl alacağını bilmen gerekir.

Yöntem 1 / 2:

Bir Teğet Doğrunun Denklemini Bulmak

1
Fonksiyonu ve teğet doğruyu çiz (önerilir). Grafik, problemi takip etmeyi ve cevabın mantıklı olup olmadığını kontrol etmeyi kolaylaştırır. Gerekirse fonksiyonu, referans olarak bir grafik hesap makinesi kullanarak bir grafik kâğıdına çiz. Verilen noktadan geçen teğet doğruyu çiz. (Unutma, teğet doğrusu bu noktadan geçer ve o noktada grafikle aynı eğime sahiptir.)
- Örnek 1: $f(x)=0,5x^{2}+3x-1$ parabolünün grafiğini çiz. (-6, -1) noktasından geçen teğeti çiz.
  Henüz teğetin eğimini bilmiyorsun fakat şimdiden eğiminin ve y ekseni ile kesişiminin negatif (y değeri -5,5 olan parabol tepe noktasının çok altında) olduğunu anlayabilirsin. Eğer son cevabın bu detaylara uymuyorsa işlemlerini kontrol etmen gerektiğini bileceksin.
2
Teğet doğrunun eğimi denklemini bulmak için ilk türevi al.^{[1]
X
Uzman Kaynak

Jake Adams

Uzmanla Görüşme. 20 May 2020.} F(x) fonksiyonu için birinci türev f'(x), f(x) üzerindeki herhangi bir noktada teğet doğrunun eğiminin denklemini ifade eder. Türev almanın birçok yolu vardır. İşte kuvvet kuralını kullanan basit bir örnek:^{[2]
X
Kaynağı araştır}
- Örnek 1 (devam): Grafik, $f(x)=0,5x^{2}+3x-1$ denklemiyle tanımlanmıştır.
  Türev alırken kuvvet kuralını hatırla: ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ .
  Fonksiyonun ilk türevi = f'(x) = (2)(0,5)x + 3 - 0.
  f'(x) = x + 3. Herhangi bir a değerini denklemdeki x yerine koyduğunda sonuç, x = a olduğu noktada f(x)’e teğet doğrunun eğimi olacaktır.
3
İncelediğin noktanın x değerini gir.^{[3]
X
Uzman Kaynak

Jake Adams

Uzmanla Görüşme. 20 May 2020.} Teğet doğrusunu bulduğun noktanın koordinatlarını bulmak için problemi oku. Bu noktanın x koordinatını f'(x)'te yerine koy. Sonuç, teğet doğrunun bu noktadaki eğimidir.
- Örnek 1 (devam): Problem konusu nokta (-6, -1). f'(x) için x koordinatı olarak -6’yı kullan.
  f'(-6) = -6 + 3 = -3
  Teğet doğrunun eğimi -3’tür.
4
Nokta-eğim formunda teğet denklemini yaz. Lineer bir denklemin nokta-eğim formu şöyledir: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ; burada m eğim ve $(x_{1},y_{1})$ $(x_{1},y_{1})$ doğru üzerindeki bir noktadır.^{[4]
X
Kaynağı araştır} Artık teğet doğrunun denklemini bu formda yazmak için ihtiyacın olan tüm bilgiye sahipsin.
- Örnek 1 (devam): $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
  Doğrunun eğimi -3, bu nedenle $y-y_{1}=-3(x-x_{1})$
  Teğet doğru (-6, -1) noktasından geçiyor, bu nedenle son denklem $y-(-1)=-3(x-(-6))$ şeklindedir.
  Basitleştirirsek: $y+1=-3x-18$
  $y=-3x-19$
5
Denklemi grafiğin üzerinde onayla. Elinde bir grafik hesap makinesi varsa doğru cevabı elde edip etmediğini kontrol etmek için asıl denklemin ve teğet doğrunun grafiğini çiz. Eğer kâğıt üzerinde çalışıyorsan cevabında bariz bir hata olmadığından emin olmak için önceki grafiğine bak.
- Örnek 1 (devam): İlk çizim teğet doğrunun negatif olduğunu gösterdi ve y kesişimi -5,5’ten oldukça aşağıdaydı. Eğim-kesişim formunda bulduğumuz teğet doğru denklemi y = -3x - 19; burada -3, eğim ve -19, y kesişimidir. Her ikisi de ilk tahminlerle uyumlu.
6
Daha zor bir problem dene. Tüm süreci tekrar gözden geçirelim. Bu sefer amaç, x = 2 noktasında $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ eğrisine teğet olan doğruyu bulmak:
- Kuvvet kuralını kullanarak ilk türev $f'(x)=3x^{2}+4x+5$ elde edilir. Bu fonksiyon bize teğetin eğimini söyleyecek.
- x = 2 olduğundan, $f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25$ olduğunu bul. Bu, x = 2’deki eğimdir.
- Elimizde sadece bir x koordinatı olduğunun farkında ol. Y koordinatını bulmak için x = 2 değerini ilk fonksiyonda yerine koy: $f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27$ . Nokta (2,27) olur.
- Teğet doğru denklemini nokta-eğim formunda yaz: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
  $y-27=25(x-2)$
  İstenirse sadeleştir: y = 25x - 23.
Reklam

Yöntem 2 / 2:

İlgili Problemleri Çözmek

1
Bir grafik üzerinde ekstremum noktaları bul. Bunlar grafiğin bir yerel maksimuma (her iki taraftan da yüksek olan bir nokta) ya da yerel minimuma (her iki taraftaki noktalardan daha aşağıda) ulaştığı yerlerdir. Teğet doğru bu noktalarda daima 0 eğime sahiptir (yatay doğru) fakat sıfır eğim tek başına bir ekstremum noktayı garantilemez. Bunları şu şekilde bulacaksın:^{[5]
X
Kaynağı araştır}
- Teğetin eğiminin denklemi olan f'(x)'i elde etmek için fonksiyonun ilk türevini al.
- Olası ekstremum noktaları bulmak için f'(x) = 0'ı çöz.
- Teğet eğiminin ne kadar hızlı değiştiğini veren f''(x)’i elde etmek için ikinci türevi al.
- Her olası ekstremum nokta için x koordinatı a’yı f''(x) fonksiyonunda yerine koy. Eğer f''(a) pozitif ise a’da bir yerel minimum vardır. Eğer f''(a) negatif ise a’da bir yerel maksimum vardır. Eğer f''(a) 0 ise bir ekstremum nokta değil, büküm noktası vardır.
- a’da bir maksimum ya da minimum varsa y koordinatını elde etmek için f(a)’yı bul.
2
Normalin denklemini bul. Belirli bir noktadaki bir eğrinin "normal"i bu noktadan geçer ancak teğete dik bir eğime sahiptir. Normalin denklemini bulmak için, ikisi de grafikte aynı noktadan geçerken (teğetin eğimi) (normalin eğimi) = -1 durumundan yararlan.^{[6]
X
Kaynağı araştır} Diğer bir ifadeyle:
- Teğet doğrunun eğimi olan f'(x)’i bul.
- Eğer nokta x = a ise o noktadaki teğetin eğimini bulmak için f'(a)’yı bul.
- Normalin eğimini bulmak için ${\frac {-1}{f'(a)}}$ ’yı hesapla.
- Normal denklemini eğim-nokta formunda yaz.
Reklam