Bir Düzgün Beşgenin Alanı Nasıl Bulunur?

Yazar bilgileri

Beşgen, beş düz kenarı olan bir çokgendir. Matematik dersinde karşılaşacağın neredeyse tüm problemler beş eş kenarı olan düzgün beşgenlerle ilgilidir. Ne kadar bilgiye sahip olduğuna bağlı olarak, beşgenin alanını bulmanın bilinen iki yolu vardır.

Yöntem 1 / 3:

Kenar Uzunluğundan ve Yükseklikten Alan Bulma

1
Kenar uzunluğu ve yükseklik ile başla. Bu yöntem beş eşit kenara sahip düzgün beşgenlerde işe yarar. Kenar uzunluğunun yanı sıra düzgün beşgenin "yüksekliğine" de ihtiyacın olacaktır. Yükseklik, düzgün beşgenin merkezinden bir kenarına doğru 90º açıyla indirilen dikmedir.
- Yüksekliği, orta nokta yerine bir köşeye (köşe noktasına) değen yarıçapla karıştırma. Sadece kenar uzunluğu ve yarıçapı biliyorsan bu yöntemi atlayarak bir sonraki yönteme geç.
- Kenar uzunluğu 3 birim ve yüksekliği 2 birim olan örnek bir beşgen kullanacağız.
2
Düzgün beşgeni beş üçgene böl. Beşgenin merkezinden her bir köşe noktasına (köşeye) doğru beş doğru çiz. Artık elinde beş üçgen var.
3
Bir üçgenin alanını hesapla. Her üçgenin, beşgenin bir kenarına eşit olan bir tabanı ve aynı zamanda beşgenin yüksekliğine eşit bir yüksekliği vardır (bir üçgenin yüksekliğinin köşe noktasından karşı kenarına dik açıyla indiğini unutma). Herhangi bir üçgenini alanını bulmak için ½ x taban x yüksekliğini hesaplaman yeterlidir.
- Örneğimizde, üçgenin alanı = ½ x 3 x 2 = 3 birim karedir.
4
Düzgün beşgenin toplam alanını bulmak için sonucu beş ile çarp. Beşgeni beş eşit üçgene böldük. Toplam alanı bulmak için bir üçgenin alanını beş ile çarpman yeterlidir.
- Örneğimizde, A(tüm beşgen) = 5 x A(üçgen) = 5 x 3 = 15 birim kare.
Reklam

Yöntem 2 / 3:

Kenar Uzunluğundan Alan Bulma

1
Kenar uzunluğu ile başla. Bu yöntem sadece eşit uzunlukta beş kenarı olan düzgün beşgenlerde işe yarar.
- Bu örnekte, kenar uzunluğu 7 birim olan bir düzgün beşgen kullanacağız.
2
Düzgün beşgeni beş üçgene böl. Beşgenin merkezinden herhangi bir köşe noktasına bir doğru çiz. Her bir köşe noktası için bu işlemi tekrarla. Artık her biri aynı boyutta beş üçgenin var.
3
Bir üçgeni ikiye böl. Düzgün beşgenin merkezinden harhangi bir üçgenin tabanına bir doğru çiz. Bu doğru, üçgenin tabanına 90º`lik dik açıyla inmeli ve bu üçgeni daha küçük iki eşit üçgene bölmelidir.
4
Küçük üçgenlerden birini tanımla. Daha küçük olan üçgenin bir kenarını ve bir açısını tanımlayabiliriz:
- Küçük üçgenin tabanı, düzgün beşgenin bir kenarının ½`sidir. Örneğimizde, bu ½ x 7 = 3,5 birimdir.
- Düzgün beşgenin merkezindeki açı her zaman 36º`dir (merkezi tam açı yani 360º olan açıyı 10 küçük üçgene bölebilirsin. 360 ÷ 10 = 36, yani bir üçgenin açısı 36º'dir).
5
Üçgenin yüksekliğini hesapla. Bu üçgenin yüksekliği düzgün beşgenin merkezinden düzgün beşgenin kenarına inen dikmedir. Trigonometrideki dik üçgen bağlantılarını kullanarak bu kenarın uzunluğunu bulabiliriz:^{[1]
X
Kaynağı araştır}
- Bir dik üçgende, bir açının tanjantı karşı kenar uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna bölümüne eşittir.
- 36º`nin karşı kenarı küçük üçgenin tabanıdır (düzgün beşgenin kenarının yarısıdır). 36º`nin komşu kenarı küçük üçgenin yüksekliğidir.
- tan(36º) = karşı / komşu
- Örneğimizde, tan(36º) = 3,5 / yükseklik
- yükseklik x tan(36º) = 3,5
- yükseklik = 3,5 / tan(36º)
- yükseklik = (yaklaşık) 4,8 birim.
6
Üçgenin alanını bul. Bir üçgenin alanı ½ x taban x yüksekliğe eşittir. (A = ½bh.) Artık yüksekliği biliyorsun, küçük üçgenin alanını bulmak için bu değerleri yerine koy.
- Örneğimizde, küçük üçgenin alanı = ½bh = ½ (3,5)(4,8) = 8,4 birim karedir.
7
Düzgün beşgenin alanını bulmak için çarp. Bu küçük üçgenlerden birinin alanı, düzgün beşgenin alanının 1/10'udur. Toplam alanı bulmak için küçük üçgenin alanını 10 ile çarp.
- Örneğimizde, düzgün beşgenin tüm alanı = 8,4 x 10 = 84 birim karedir.
Reklam

Yöntem 3 / 3:

Formül Kullanma

1
Çevreyi ve yüksekliği kullan. Yükseklik, düzgün beşgenin merkezinden bir kenarına doğru inen dikmedir. Yüksekliğin uzunluğu verilmişse aşağıdaki kolay formülü kullanabilirsin:
- Düzgün bir beşgenin alanı = ça/2, burada ç = çevre ve a = yüksekliktir.^{[2]
  X
  Kaynağı araştır}
- Çevreyi bilmiyorsan kenar uzunluğunu kullanarak hesapla: ç = 5s, burada s kenar uzunluğudur.
2
Kenar uzunluğunu kullan. Eğer sadece düzgün beşgenin kenar uzunluğunu biliyorsan aşağıdaki formülü kullan:^{[3]
X
Kaynağı araştır}
- Düzgün bir beşgenin alanı = (5s²)) / (4tan (36º)), burada s= kenar uzunluğu.
- tan(36º) = √(5-2√5).^{[4]
  X
  Kaynağı araştır} Eğer hesap makinenin "tan" işlevi yoksa Alan = (5s²) / (4√(5-2√5)) formülünü kullan.
3
Yalnızca yarıçapı kullanan bir formül seç. Düzgün beşgenin alanını sadece yarıçapı bildiğinde bile bulabilirsin. Bu durumda aşağıdaki formülü kullan:^{[5]
X
Kaynağı araştır}
- Düzgün bir beşgenin alanı = (5/2)r²sin(72º), burada r yarıçaptır.
Reklam

İpuçları

Formüller, burada açıklananlara benzer geometrik yöntemlerden elde edilir. Onların nasıl çıkarıldıklarını anlayıp anlamayacağına bak. Yarıçaptan elde edilen formülü bulmak diğerlerine göre daha zordur (ipucu: yarım açı formüllerine ihtiyacın olacak).
Burada verilen örneklerde matematiği kolaylaştırmak için yuvarlatılmış değerler kullanılır. Verilen kenar uzunluğuyla düzgün bir çokgeni ölçersen diğer uzunluklar ve alan için biraz farklı sonuçlar elde edersin.
Düzgün olmayan veya eşit olmayan kenarlara sahip beşgenlerde işlem yapmak daha zordur. En iyi yaklaşım, genellikle beşgeni üçgenlere bölmek ve her bir üçgenin alanını toplamaktır. Ayrıca beşgenin etrafına daha büyük bir şekil çizmen, tüm şeklin alanını hesaplaman ve daha sonra toplam alandan, toplam alan ile beşgen arasındaki alanı çıkarman gerekebilir.
Mümkünse hem geometrik yöntemi hem de formül yöntemini kullan ve cevabını doğrulamak için sonuçları karşılaştır. Formülde değerleri bir kerede yerine koyarsan biraz farklı cevaplar alabilirsin (çünkü işlem esnasında yuvarlama yapmamış olacaksın) ancak sonuçların birbirine çok yakın çıkması gerekir.

Reklam