Hız, belirli bir yöndeki bir nesnenin sürati olarak tanımlanır.[1] Pek çok kez, hızı bulmak için v = s/t denklemini kullanırız, burada v hıza, s nesnenin başlangıç konumundan itibaren toplam yer değiştirmesine ve t ise geçen süreye eşittir. Ancak bu işlem, teknik olarak yalnızca nesnenin aldığı yol boyunca yapmış olduğu ortalama hızı verir. Matematiği kullanarak, bir nesnenin aldığı yol boyunca herhangi bir andaki hızını hesaplamak mümkündür. Buna anlık hız denir ve v = (ds)/(dt) denklemi şeklinde ya da nesnenin ortalama hız denkleminin türevi olarak ifade edilebilir.[2]

Kısım 1 / 3:
Anlık Hızı Hesaplamak

  1. 1
    Yer değiştirme cinsinden bir hız denklemiyle başla. Bir nesnenin anlık hızını elde etmek için, öncelikle o nesnenin belirli bir zamandaki (yer değiştirme cinsinden) konumunu veren bir denklemimiz olması gerekir. Bu, denklemin bir tarafında tek başına s değişkeninin ve diğer tarafında t değişkeninin olması gerektiği (ancak tek başına olması zorunlu değil) anlamına gelir, örneğin:

    s = -1,5t2 + 10t + 4

    • Bu denklemde değişkenler şunlardır:
      Yer Değiştirme = s. Nesnenin başlangıç konumundan itibaren kat ettiği mesafe.[3] Örneğin, bir nesne 10 metre ileri ve 7 metre geri giderse toplam yer değiştirmesi 10 - 7 = 3 metredir (10 + 7 = 17 metre değil).
      Zaman = t. Adından da anlaşıldığı gibi zamanı belirtir. Genellikle saniye cinsinden ölçülür.
  2. 2
    Denklemin türevini al. Bir denklemin türevi, verilen herhangi bir noktanın belirli bir zamandaki eğimini ifade eden farklı bir denklem türüdür. Yer değiştirme formülünün türevini bulmak istiyorsan bu genel kuralı kullanarak fonksiyonun türevini al: Eğer y = a*xn ise Türev = a*n*xn-1. Bu kural, denklemin "t" tarafındaki her terime uygulanır.
    • Başka bir deyişle, denkleminin "t" tarafında soldan sağa ilerle. Ne zaman bir "t" ye denk gelirsen üsten 1 çıkar ve tüm terimi orijinal üsle çarp. Sabit terimler ("t" içermeyen terimler) 0 ile çarpıldığı için ortadan kalkacaktır. Bu işlem aslında göründüğü kadar zor değildir. Haydi şimdi örnek olarak yukarıdaki adımda gösterilen denklemi yazalım:

      s = -1,5t2 + 10t + 4
      (2) -1,5t(2-1) + (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
      -3t1 + 10t0
      -3t + 10

  3. 3
    "s"yi "ds/dt" ile değiştir. Yeni denklemimizin birinci denklemin türevi olduğunu göstermek için "s"yi "ds/dt" gösterimi ile değiştiriyoruz. Teknik olarak bu gösterim "s'nin t'ye göre türevi" anlamına gelir. Daha basit bir ifadeyle, ds/dt'yi ilk denklemin verilen herhangi bir noktadaki eğimi olarak düşünebilirsin. Örneğin, t = 5 iken s = -1.5t2 + 10t + 4 ile elde edilen doğrunun eğimini bulmak için tek yapmamız gereken türevde t yerine "5" koymak.
    • Devam eden örneğimizde, biten denklemimiz şöyle görünmelidir:

      ds/dt = -3t + 10

  4. 4
    Anlık hızı bulmak için yeni denkleminde bir t değeri gir.[4] Artık türev denklemine sahip olduğuna göre herhangi bir zamandaki anlık hızı bulmak oldukça kolay. Tek yapman gereken t için bir değer seçmek ve bunu türev denklemine koymaktır. Örneğin, t = 5'teki anlık hızı bulmak istiyorsak ds/dt = -3t + 10 türevinde t yerine "5"'i koyarız. Ardından denklemi şu şekilde çözeriz:

    ds/dt = -3t + 10
    ds/dt = -3(5) + 10
    ds/dt = -15 + 10 = -5 metre/saniye

    • Yukarıda "metre/saniye" birimini kullandığımıza dikkat et. Yer değiştirmeyi metre cinsinden, zamanı saniye cinsinden ele aldığımız için ve hız da genellikle yer değiştirme bölü zaman olduğu için bu birimi kullanmak uygundur.
    Reklam

Kısım 2 / 3:
Anlık Hızı Grafikle Hesaplamak

  1. 1
    Nesnenin zamanla yapmış olduğu yer değiştirmenin grafiğini çiz. Yukarıdaki bölümde, türevlerin sadece türevini aldığın denklemin herhangi bir noktasındaki eğimini bulmamızı sağlayan formüller olduğundan bahsetmiştik.[5] Aslında, bir nesnenin yer değiştirmesini bir grafik üzerinde bir eğri ile temsil ediyorsan herhangi bir noktadaki doğrunun eğimi, nesnenin o noktadaki anlık hızına eşittir.
    • Bir nesneye ait yer değiştirmenin grafiğini çizerken zamanı göstermek için x eksenini ve yer değiştirmeyi göstermek için y eksenini kullan. Ardından, yer değiştirme denklemine t değerlerini yerleştir, cevap olarak s değerlerini elde et ve grafikteki t,s (x, y) noktalarını işaretleyerek bulduğun noktaları çiz.
    • Grafiğin x ekseninin altına uzanabileceğini unutma. Nesnenin hareketini temsil eden eğri x ekseninin altına düşerse bu, nesnenin başladığı yerin gerisine gittiği anlamına gelir. Genelde grafiğin y ekseninin gerisine uzanmaz çünkü çoğu kez zamanda geriye doğru hareket eden nesneler için hızı ölçmeyiz!
  2. 2
    Eğri üzerinde bir P noktası ve bu noktaya yakın olan bir Q noktası seç. Tek bir P noktasında bir doğrunun eğimini bulmak için "limit alma" adı verilen bir teknik kullanırız. Limit almak, eğri üzerinde iki nokta (P ve bu noktaya yakın Q noktası) almak ve P ile Q arasındaki mesafe azaldıkça bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimini tekrar tekrar almak demektir.
    • Yer değiştirme doğrumuzun (1,3) ve (4,7) noktalarını içerdiğini varsayalım. Bu durumda, (1,3)'teki eğimi bulmak istiyorsak P = (1,3) ve Q =(4,7) şeklinde yazabiliriz.
  3. 3
    P ve Q arasındaki eğimi bul. P ve Q arasındaki eğim, P ve Q'ya ait y değerleri arasındaki farkın P ve Q'ya ait x değerleri arasındaki farka oranıdır. Diğer bir ifadeyle, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), burada H iki nokta arasındaki eğimdir. Örneğimizde, P ve Q arasındaki eğim:

    H = (yQ - yP)/(xQ - xP)
    H = (7 - 3)/(4 - 1)
    H = (4)/(3) = 1,33

  4. 4
    Q'yu P'ye yaklaştırarak bu işlemi birkaç kez tekrarla. Bunu yapmaktaki amacın, P ile Q arasındaki mesafeyi tek bir nokta hâline gelinceye kadar azaltmak. P ve Q arasındaki mesafe ne kadar az olursa küçük doğru parçalarının eğimi P noktasındaki eğime o kadar yakın olur. Haydi şimdi Q için (2, 4,8), (1,5, 3,95) ve (1,25, 3,49) noktalarını ve P için orijinal (1,3) noktamızı kullanarak örnek denklemimiz için bu işlemi birkaç kez tekrar edelim:

    Q = (2, 4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
    H = (1,8)/(1) = 1,8

    Q = (1,5, 3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
    H = (0,95)/(0,5) = 1,9

    Q = (1,25, 3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
    H = (0,49)/(0,25) = 1,96

  5. 5
    Doğru üzerinde yer alan çok küçük bir aralıktaki eğimi tahmin et. Q, P'ye yaklaştıkça H, P noktasındaki eğime giderek yaklaşacaktır. Sonunda, sonsuz küçük bir aralıkta H, P'deki eğime eşit olacaktır. Çok küçük bir aralığı hesaplayamadığımız veya ölçemediğimiz için denediğimiz noktalardan yola çıkarak P'deki eğimi tahmin edebiliriz.
    • Örneğimizde, Q'yu P'ye yaklaştırdıkça H için 1,8, 1,9 ve 1,96 değerlerini elde ettik. Bu sayılar gittikçe 2'ye yaklaştığından 2'nin P'deki eğim için iyi bir tahmin olduğunu söyleyebiliriz.
    • Bir eğri üzerinde yer alan belirli bir noktadaki eğimin, o noktadaki doğru denkleminin türevine eşit olduğunu hatırla. Eğrimiz, yukarıdaki bölümde gördüğümüz gibi, nesnemizin zaman içinde almış olduğu yer değiştirmeyi gösterdiğinden ve bir nesnenin anlık hızı belirli bir noktadaki yer değiştirmesinin türevi olduğundan 2 metre/saniye'nin t = 1'deki anlık hız için iyi bir tahmin olduğunu söyleyebiliriz.
    Reklam

Kısım 3 / 3:
Örnek Sorular

  1. 1
    Yer değiştirme denklemi s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9 şeklinde verildiğinde t = 4'teki anlık hızı bul. Bu denklem ilk bölümdeki örneğimize benziyor, ancak bu defa ikinci dereceden bir denklem yerine üçüncü dereceden bir denklemimiz var, dolayısıyla soruyu aynı şekilde çözebiliriz.
    • Öncelikle denklemimizin türevini alacağız:

      s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9
      s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
      15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
      15t(2) - 6t + 2

    • Ardından t (4) değerimizi denklemde yerine koyacağız:

      s = 15t(2) - 6t + 2
      15(4)(2) - 6(4) + 2
      15(16) - 6(4) + 2
      240 - 24 + 2 = 218 metre/saniye

  2. 2
    s = 4t2 - t şeklinde verilen yer değiştirme denkleminde (1,3)'teki anlık hızı bulmak için grafikle tahmin yöntemini kullan. Bu soru için P noktamızı (1,3) olarak alacağız ancak Q noktalarımızı kullanmak için P'ye yakın birkaç nokta daha bulmamız gerekecektir. Sonrasında, tek yapmamız gereken sadece H değerlerimizi bulmak ve bir tahminde bulunmaktır.
    • Öncelikle t = 2, t =1,5, t =1,1 ve t =1,01'deki Q değerlerini bulalım.

      s = 4t2 - t

      t = 2: s = 4(2)2 - (2)
      4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, dolayısıyla Q = (2,14)

      t = 1,5: s = 4(1,5)2 - (1,5)
      4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, dolayısıyla Q = (1,5, 7,5)

      t = 1,1: s = 4(1,1)2 - (1,1)
      4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, dolayısıyla Q = (1,1, 3,74)

      t = 1,01: s = 4(1,01)2 - (1,01)
      4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, dolayısıyla Q = (1,01, 3,0704)

    • Ardından H değerlerimizi bulalım:

      Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
      H = (11)/(1) = 11

      Q = (1,5, 7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
      H = (4,5)/(0,5) = 9

      Q = (1,1, 3,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
      H = (0,74)/(0,1) = 7,3

      Q = (1,01, 3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
      H = (0,0704)/(0,01) = 7,04

    • H değerlerimiz 7'ye yaklaştığından 7 metre/saniye'nin (1,3)'teki anlık hız için iyi bir tahmin olduğunu söyleyebiliriz.
    Reklam

İpuçları

  • İvmeyi (zaman içinde hızdaki değişim) bulmak için birinci kısımdaki yöntemi kullanarak yer değiştirme fonksiyonunun bir türev denklemini elde et. Ardından, türevini aldığın denkleminin ikinci bir türevini al. Bu işlem sana belirli bir zamandaki ivmeyi bulman için bir denklem verecektir. Tek yapman gereken, zaman değerini denklemde yerine koymak.
  • Y (yer değiştirme) ve X (zaman) değişkenlerini içeren denklem Y = 6x + 3 gibi gerçekten basit bir denklem olabilir. Bu durumda eğim sabittir ve eğimi bulmak için türev almana gerek yok. Doğrusal grafikler için kullanılan temel eğim denkleminden Y = mx + b faydalanarak türev almadan eğimin 6 olduğunu bulabilirsin.
  • Yer değiştirme mesafe gibidir, ancak mesafeden farklı olarak belirli bir yönü vardır. Bu da yer değiştirmeyi bir vektör ve sürati bir skaler değer yapar. Mesafe yalnızca pozitif olurken yer değiştirme negatif de olabilir.
Reklam

Bununla İlgili wikiHow'lar

Bir Dairenin Yarıçapı Nasıl HesaplanırBir Dairenin Yarıçapı Nasıl Hesaplanır?
Konuşacak Bir Şey Olmadığında Sohbet Nasıl BaşlatılırKonuşacak Bir Şey Olmadığında Sohbet Nasıl Başlatılır?
Bir Kızla Sohbet Etmeye Nasıl BaşlanırBir Kızla Sohbet Etmeye Nasıl Başlanır?
Hoşlanılan Kızla Nasıl KonuşulurHoşlanılan Kızla Nasıl Konuşulur?
Hoşlanılan Kıza Nasıl Mesaj AtılırHoşlanılan Kıza Nasıl Mesaj Atılır?
Yüzde Artışı Nasıl HesaplanırYüzde Artışı Nasıl Hesaplanır?
Varyans Nasıl HesaplanırVaryans Nasıl Hesaplanır?
Derece Radyana Nasıl DönüştürülürDerece Radyana Nasıl Dönüştürülür?
Mililitre (mL) Gram'a (g) Nasıl DönüştürülürMililitre (mL) Gram'a (g) Nasıl Dönüştürülür?
Standart Sapma Nasıl HesaplanırStandart Sapma Nasıl Hesaplanır?
Nasıl Havalı OlunurNasıl Havalı Olunur?
"Teşekkür"e Nasıl Karşılık Verilir"Teşekkür"e Nasıl Karşılık Verilir?
Bir Üniversite Hocasına Nasıl E‐posta GönderilirBir Üniversite Hocasına Nasıl E‐posta Gönderilir?
Bir Kızla Mesajlaşma Nasıl BaşlatılırBir Kızla Mesajlaşma Nasıl Başlatılır?
Reklam

Bu wikiHow makalesi hakkında

wikiHow bir “wiki”dir. Bu, makalelerimizin çoğunun birden fazla yazar tarafından ortaklaşa yazıldığı anlamına gelir. Bu makaleyi oluşturmak için, zaman içinde makaleyi düzenlemek ve iyileştirmek üzere bazıları isimsiz, 31 kişi çalıştı. Bu makale 4.122 defa görüntülenmiştir.
Kategoriler: Eğitim ve İletişim
Bu sayfaya 4.122 defa erişilmiş.

Bu makale işine yaradı mı?

Reklam