3x3 Matrisin Tersi Nasıl Alınır?

Ortak yazar: wikiHow Kadrosu | 18 Referans

Bu Makalede:Ters Matrisi Bulmak İçin Ek Matris OluşturmakTers Matrisi Bulmak İçin Satır İndirgemeyi KullanmakTers Matrisi Bulmak İçin Hesap Makinesi Kullanmak

Ters işlemler, aksi hâlde zor olabilecek işlemleri basitleştirmek için cebirde yaygın olarak kullanılır. Örneğin, bir problem bir kesirle bölmeyi gerektiriyorsa o kesirin tersini alarak çarpmak daha kolay olabilir. Bu bir ters işlemdir. Benzer şekilde, matrisler için bölme işareti olmadığından, ters matris ile çarpman gerekir. 3x3'lük bir matrisin tersininin elle hesaplanması meşakkatli bir iştir, ancak incelemeye değer. Ayrıca matrisin tersini gelişmiş bir grafik hesap makinesi kullanarak da bulabilirsin.

1
Ters Matrisi Bulmak İçin Ek Matris Oluşturmak

  1. 1
    Matrisin determinantını kontrol et. İlk adım olarak matrisin determinantını hesaplaman gerekir. Eğer determinant 0 ise o hâlde devam edemezsin, çünkü matrisin tersi yoktur. M matrisinin determinantı sembolik olarak det(M) şeklinde gösterilir.[1]
  2. 2
    Asıl matrisin transpozunu (devriği) al. Transpozunu almak matrisi esas köşegen üzerinden yansıtmak yani, (i,j)nci eleman ile (j,i)nci elemanın yerini değiştirmektir. Matris terimlerini değiştirdiğinde, esas köşegenin (sol üstten sağ alta) değişmemiş olduğunu görmelisin.[2]
    • Transpozunu almayı ilk sırayı ilk sütun, orta sırayı orta sütun ve üçüncü sırayı üçüncü sütun olarak yazmak olarak da düşünebilirsin. Yukarıdaki grafikte yer alan renkli elemanların konumlarının nasıl değiştiğine dikkat et.
  3. 3
    Her bir 2x2 minör matrisin determinantını bul. Yeni transpozesi alınan 3x3 matrisin her elemanı karşılık gelen 2x2 “minör” matris ile ilişkilidir. Her terimin doğru minör matrisini bulmak için ilk olarak başlayacağın terimin satır ve sütununu işaretle. Bu seçimine matrisin beş elemanı dâhil olmalıdır. Geri kalan dört terim minör matrisi oluşturur.[3]
    • Yukarıda gösterilen örnekte, eğer ilk sütun, ikinci sıradaki terimin minör matrisini istiyorsan ikinci sıra ve birinci sütundaki beş terimi işaretleyeceksin. Geri kalan dört terim, karşılık gelen minör matristir.
    • Her bir minör matrisin determinantını bulmak için gösterildiği şekilde köşegen elemanlara içler dışlar çarpımı yap ve çıkar.
  4. 4
    Kofaktör (eş çarpan) matrisini oluştur. Önceki adımda elde edilen sonuçları, her bir minör matrisin determinantını asıl matristeki sırasına karşılık gelecek şekilde sıralayarak yeni bir kofaktör matrise yerleştir. Böylelikle, asıl matrisin (1,1) elemanından hesapladığın determinant (1,1) konumuna gider. Sonrasında, yeni matrisin değişen terimlerinin işaretlerini gösterilen “dama tahtası” düzenini takip ederek değiştirmelisin.[4]
    • İşaretleri atarken ilk sıranın ilk elemanı asıl işaretini korur. İkinci elemanın işareti değişir. Üçüncü eleman asıl işaretini korur. Matrisin geri kalanına bu düzende devam et. Dama tahtası şemasındaki (+) veya (-) işaretlerinin son terimin pozitif veya negatif olacağını belirtmediğini unutma. Buradaki (+) işareti, karşılık gelen elemanın asıl işaretini koruyacağın ve (-) işareti ise karşılık gelen elemanın asıl işaretini değiştireceğin anlamına gelir.
    • Bu adımın sonucuna ek matris denir. Bu, bazen adjoint matris olarak anılır. Ek matris Ek(M) ya da Adj(M) şeklinde gösterilir.
  5. 5
    Ek matrisin her bir terimini determinanta böl. İlk adımda (tersinin olup olmadığını kontrol etmek için) hesapladığın M’in determinantını hatırla. Şimdi, matrisin her terimini bu değere böl. Her hesaplamanın sonucunu asıl terimin yerine yerleştir. Sonuç, asıl matrisin tersidir.[5]
    • Grafikte gösterilen örnek matrisin determinantı 1’dir. Bundan dolayı, ek matrisin her terimini bölmek ek matrisin kendisini verecektir (her zaman böyle şanslı olmazsın).
    • Bazı kaynaklar bölme yerine bu adımı M’in her bir terimini 1/det(M) ile çarpmak olarak gösterir. Matematiksel olarak bu ikisi aynı şeydir.

2
Ters Matrisi Bulmak İçin Satır İndirgemeyi Kullanmak

  1. 1
    Asıl matrise birim matrisi ekle. Asıl matris M’yi yaz, sağına dikey bir çizgi çek ve ardından bunun sağına birim matrisi yaz. Bunun sonucunda üç satırlı ve altı sütunlu bir matris elde etmen gerekir.[6]
    • Birim matrisin esas köşegenin sol üstten sağ alta kadar her noktasında 1’lerin ve diğer tüm noktalarda 0’ların bulunduğu özel bir matris olduğunu hatırla.
  2. 2
    Satır indirgeme işlemini yap. Amacın yeni genişletilmiş matrisin sol tarafında birim matrisi oluşturmaktır. Solda satır indirgeme adımlarını yaparken sürekli bir şekilde sağda da birim matrisin olarak başlayan aynı işlemleri yapmalısın.[7]
    • Satır indirgemelerinin, matrisin terimlerini ayırmak için skaler çarpım ve satır ekleme veya çıkarma işlemlerinin bir kombinasyonu olarak yapıldığını unutma.
  3. 3
    Birim matrisi oluşturana kadar devam et. Genişletilmiş matrisin sol tarafında birim matris (köşegenler 1, diğer terimler 0) görüntülenene kadar satır indirgemeyi tekrar etmeye devam et. Bu noktaya geldiğinde dikey ayırıcının sağ tarafı asıl matrisin tersi olacaktır.[8]
  4. 4
    Ters matrisi yaz. Dikey ayırıcının sağ tarafında gözüken elemanları ters matris olarak yaz.[9]

3
Ters Matrisi Bulmak İçin Hesap Makinesi Kullanmak

  1. 1
    Matris hesaplayabilen bir hesap makinesi seç. Basit 4 işlem hesap makineleri ters matrisi bulman konusunda sana yardımcı olamazlar. Ancak, hesaplamaların tekrar eden yapısı gereği Texas Instruments TI-83 ya da TI-86 gibi gelişmiş bir grafik hesap makinesi iş yükünü büyük ölçüde azaltabilir.[10]
  2. 2
    Matrisini hesap makinesine gir. Önce, eğer varsa Matris düğmesine basarak hesap makinesinin Matris işlevine gir. Texas Instruments hesap makinelerinde 2nd Matrix tuşlarına basman gerekebilir.
  3. 3
    Edit alt menüsünü seç. Alt menüye ulaşmak için hesap makinenin yerleşimine bağlı olarak ok tuşlarını kullanman ya da hesap makinesinin tuş takımından uygun işlev tuşlarını seçmen gerekebilir.[11]
  4. 4
    Matrisin için bir isim seç. Çoğu hesap makinesi A ila J harfleriyle etiketlenmiş 3 ila 10 matris ile çalışabilir. Genelde, çalışmak için [A]’yı seç. Seçimini yaptıktan sonra Enter tuşuna bas.[12]
  5. 5
    Matrisin büyüklüğünü gir. Bu makalede 3x3 matris üzerinde duruluyor. Ancak, hesap makinesi daha büyükleri ile de başa çıkabilir. Satır sayısını gir, ardından Enter’a bas ve sonra sütun sayısını gir ve Enter’a bas.[13]
  6. 6
    Her matris elemanını gir. Hesap makinesi ekranında bir matris gözükecektir. Eğer daha önce matris işleviyle çalışıyor idiysen önceki matris ekranda gözükecektir. İmleç, matrisin ilk elemanını vurgulayacaktır. Çözmek istediğin matris değerini yaz ve ardından Enter’a bas. İmleç önceki sayıların üzerine yazarak otomatik olarak matrisin diğer elemanına geçecektir.[14]
    • Eğer negatif bir sayı gireceksen eksi düğmesini değil, hesap makinesinin negatif (-) düğmesini kullan. Böyle yapmazsan matris işlevi sayıyı düzgün şekilde okuyamaz.
    • Gerekliyse, matriste gezinmek için hesap makinesinin ok tuşlarını kullanabilirsin.
  7. 7
    Matris işlevinden çık. Tüm değerleri matrise girdikten sonra Quit (ya da gerekirse 2nd Quit) tuşuna bas. Böylece matris işlevinden çıkar ve hesap makinesinin ana ekranına dönersin.[15]
  8. 8
    Ters matrisi bulmak için inverse düğmesini kullan. Önce, Matris işlevini tekrar aç ve matrisini (muhtemelen [A]) tanımlamak için kullandığın matris etiketini seçmek için İsimler düğmesini kullan. Ardından, hesap makinenin düğmesine bas. Hesap makinene bağlı olarak bunun için 2nd düğmesini kullanman gerekebilir. Ekranında ibaresi gözükmelidir. Enter’a bastığında ters matris ekranında gözükmelidir.[16]
    • Kendin ayrıca elle girmek için ^ düğmesini kullanarak tersi ifadesini A^-1 şeklinde yazma. Hesap makinesi bu işlemi anlamayacaktır.
    • Tersi düğmesine bastığında bir hata mesajı alırsan asıl matrisinin bir tersi olmayabilir. Bunu öğrenmek için geri gidip determinantı hesaplamak isteyebilirsin.
  9. 9
    Ters matrisini tam cevaplara çevir. Hesap makinesinin vereceği ilk hesaplamalar ondalık şeklinde olacaktır. Bu, çoğu durum için “tamam” olarak görülmez. Gerekli olduğunda ondalık cevapları kesirli ifadelere çevirmelisin (eğer çok şanslıysan tüm cevapların tam sayı olacaktır ancak bu nadiren denk gelir).[17]
    • Hesap makinende muhtemelen ondalıkları kesre çeviren bir işlev olacaktır. Örneğin, TI-86’yı kullanırken Math işlevine gir, ardından Misc ve sonra Frac menüsünü seç ve Enter’a bas. Ondalıklı sayılar otomatik olarak kesirli sayılar şeklinde gözükecektir.
  10. 10
    Çoğu grafik hesap makinesinde ayrıca köşeli parantez tuşu bulunur (TI-84’te 2nd + x ve 2nd + -) ve matris işlevini kullanmadan bu şekilde bir matris yazılabilir. Not: Hesap makinesi enter/eşittir tuşu kullanılana kadar matrisi biçimlendirmeyecektir (yani, her şey tek satırdadır ve pek hoş gözükmez).

İpuçları

  • Bu adımları takip ederek sadece sayıları değil aynı zamanda değişkenleri, bilinmeyenleri veya hatta cebirsel ifadeleri içeren bir matrisin tersini bulabilirsin.
  • Hangi yöntemi seçmiş olursan ol, sonucunun doğru olduğunu M’i M-1 ile çarparak kontrol et. M*M-1 = M-1*M = I olduğunu doğrulaman gerekir. I, esas köşegeninde 1’ler ve diğer alanlarda 0’ların bulunduğu birim matristir. Eğer sonuç bu şekilde olmazsa bir yerlerde hata yapmış olmalısın.
  • 3x3 matrisin tersini kafandan hesaplamak son derece zor olduğu için tüm adımlarını yaz.
  • 30x30 büyüklüğüne kadar matrislerin tersini bulan bilgisayar programları mevcuttur.[18]

Uyarılar

  • Her 3x3 matrisin tersi yoktur. Eğer matrisin determinantı 0'a eşitse tersi yoktur (formülde det(M)’e bölündüğümüze dikkat et. Sıfıra bölmek tanımsızdır).

Makale Bilgisi

Bu makale editörler ve araştırmacılardan oluşan, makalenin doğruluğu ile kapsamlılığını onaylayan, eğitimli bir ekip tarafından ortaklaşa yazılmıştır.

Kategoriler: Eğitim ve İletişim

Diğer dillerde:

English: Find the Inverse of a 3x3 Matrix, Français: calculer l'inverse d'une matrice 3x3, Italiano: Invertire una Matrice 3X3, Español: invertir una matriz de 3X3, Deutsch: Eine 3x3 Matrix umdrehen, Português: Inverter uma Matriz de 3X3, Русский: найти обратную матрицу 3х3, 中文: 求3X3矩阵的逆矩阵, Nederlands: De inverse van een 3x3 matrix bepalen, Bahasa Indonesia: Membalik Matriks 3x3, Tiếng Việt: Tìm nghịch đảo của ma trận 3x3, العربية: إيجاد معكوس مصفوفة 3x3

Bu sayfaya 1.834 defa erişilmiş.
Bu makale işine yaradı mı?