3X3 Matrisin Determinantı Nasıl Bulunur?

3 x 3 matrisini yaz. 3 x 3 bir A matrisiyle başlayacağız ve matrisin determinantını |A| bulmaya çalışacağız. Kullanıyor olacağımız genel matris gösterimi ve örnek matrisimiz şöyle:

• ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}$

Tek bir satır ya da sütun seç. Bu senin referans satırın ya da sütunun olacak. Hangisini seçtiğin farketmeksizin aynı cevabı elde edeceksin. Şimdilik sadece ilk satırı seç. Daha sonra hesaplaması en kolay olanı nasıl seçeceğine yönelik sana biraz tavsiye vereceğiz.

• A matrisi örneğimizin ilk satırını seçelim. 1 5 3‘ü daire içine al. Genel bir ifadeyle a₁₁ a₁₂ a₁₃‘ü daire içine al.

İlk elemana ait satırın ve sütunun üzerini çiz. Daire içine aldığın satıra ya da sütuna bak ve ilk elemanı seç. Bu elemanın olduğu satır veye sütun boyunca bir çizgi çek. Geriye dört tane sayı kalmalı. Bunu 2x2 bir matris olarak inceleyeceğiz.

• Örneğimizde, referans satırımız 1 5 3’tür. İlk eleman 1. satır ve 1. sütunda yer alır. 1. satırın ve 1. sütunun tamamının üzerini çiz. Kalan elamanları
  2 x 2 bir matris şeklinde yaz:
•  1  5 3
   2  4 7
   4  6 2

2 x 2 matrisin determinantını bul. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ matrisinin, ad - bc şeklinde bir determinantı olduğunu hatırla.^[1] Bunu 2 x 2 matrisin üzerine bir X çizerek öğrenmiş olabilirsin. X’in \ bacağıyla bağlantılı olan iki rakamı çarp. Daha sonra, / bacağının bağlantılı olduğu iki sayının çarpımını birbirinden çıkart. Bu formülü kullanarak az önce elde ettiğin matrisin determinantını hesapla.

• Örneğimizdeki matrisin determinantı ${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
• Bu determinanta orijinal matrisimizde seçtiğimiz elementin minör’ü denir.^[2] Bu örnekte biz a₁₁ ‘in minörünü bulduk.

Seçtiğin eleman ile bulduğun sonucu birbiriyle çarp. Unutma, hangi satır ve sütunu çizeceğine karar verdiğinde, referans aldığın satırdan (ya da sütundan) bir eleman seçtin. Bu elemanı, az önce hesapladığın 2x2 matrisin determinantıyla çarp.

• Örneğimizde, değeri 1 olan a₁₁’i seçtik. Bunu -34 (2x2 matrisinin determinantı) ile çarp ve 1*-34 = -34’ü elde et.

Cevabının işaretini belirle. Ardından, seçmiş olduğun elemanın kofaktörünü bulmak için cevabını 1 ya da -1 ile çarpacaksın. Hangisiyle çarpacağın, seçilen elemanın örneğimizdeki 3x3 matriste nerede yer aldığına bağlı olacaktır. Hangi elemanın hangi işareti aldığını bulmak için bu basit işaret tablosunu ezberle:

• + - +
  - + -
  + - +
• a₁₁’i seçtiğimizden, işareti + olduğu için, sayıyı +1 ile çarparız. (Diğer bir ifadeyle, sayıyı aynı şekilde bırak.) Cevap hâlâ -34’tür.
• Alternatif olarak, işareti (-1)^i+j formülüyle bulabilirsin. Formüldeki i ve j elemanın satır ve sütununu ifade eder. ^[3]

Referans aldığın satır ya da sütundaki ikinci eleman için bu işlemi tekrarla. Satırını ya da sütununu daha önceden daire içine aldığın 3x3 orijinal matrise geri dön. Aynı işlemi bu elemanla tekrarla:

• Bu elemanın yer aldığı satırın ve sütunun üzerini çiz. Bizim örneğimizde, a₁₂ elemanını seç (değeri 5 olan). Birinci satır (1 5 3) ve ikinci sütunun ${\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}$ üzerini çiz.
• Kalan elemanlara 2x2 bir matris olarak işlem yap. Örneğimizde, bu ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}$ matrisidir.
• Bu 2x2 matrisinin determinantını bul. ad – bc formülünü kullan. (2*2 - 7*4 = -24)
• 3x3 matrisinin seçilen elemanıyla çarp. -24 * 5 = -120
• -1 ile çarpıp çarpmayacağını belirle. İşaret tablosunu ya da (-1)^ij formülünü kullan. İşaret tablosunda – olan a₁₂ elemanını seçtik. Cevabımızın işaretini değiştirmeliyiz: (-1)*(-120) = 120.

Üçüncü elemanla aynı işlemi tekrarla. Bulacağın bir tane daha kofaktör var. Referans satırın ve sütunundaki üçüncü terim için kofaktörü hesapla. İşte sana örneğimizdeki a₁₃’ün kofaktörünü nasıl hesaplayacağına dair kısa bir özet:

• 1. satırın ve 3. sütunun üzerine bir çizgi çekerek${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}$ matrisini elde et.
• Bu matrisin determinantı 2*6 - 4*4 = -4’tür.
• a₁₃ elemanıyla çarp: -4 * 3 = -12.
• a₁₃ elemanı işaret tablosunda + olduğundan, cevap -12’dir.

Elde ettiğin üç sonucu topla. Bu son adımdır. Tek bir satır ya da sütundaki her bir eleman için bir tane olmak üzere, üç tane kofaktör hesapladın. Bunları topla ve işte 3x3 matrisin determinantını buldun.

• Örneğimizdeki determinant -34 + 120 + -12 = 74’tür.