3X3 Matrisin Determinantı Nasıl Bulunur?

Yazar bilgileri

Bir matrisin determinantı matematiksel analizde, lineer cebirde ve ileri seviye geometride sıklıkla kullanılır. Başlangıçta bir matrisin determinantını bulmak kafa karıştırıcı olabilir ama birkaç kez yaptıktan sonra daha kolay gelecektir.

Kısım 1 / 2:

Determinantı Bulmak

1
3 x 3 matrisini yaz. 3 x 3 bir A matrisiyle başlayacağız ve matrisin determinantını |A| bulmaya çalışacağız. Kullanıyor olacağımız genel matris gösterimi ve örnek matrisimiz şöyle:
- $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
2
Tek bir satır ya da sütun seç. Bu senin referans satırın ya da sütunun olacak. Hangisini seçtiğin farketmeksizin aynı cevabı elde edeceksin. Şimdilik sadece ilk satırı seç. Daha sonra hesaplaması en kolay olanı nasıl seçeceğine yönelik sana biraz tavsiye vereceğiz.
- A matrisi örneğimizin ilk satırını seçelim. 1 5 3‘ü daire içine al. Genel bir ifadeyle a₁₁ a₁₂ a₁₃‘ü daire içine al.
3
İlk elemana ait satırın ve sütunun üzerini çiz. Daire içine aldığın satıra ya da sütuna bak ve ilk elemanı seç. Bu elemanın olduğu satır veye sütun boyunca bir çizgi çek. Geriye dört tane sayı kalmalı. Bunu 2x2 bir matris olarak inceleyeceğiz.
- Örneğimizde, referans satırımız 1 5 3’tür. İlk eleman 1. satır ve 1. sütunda yer alır. 1. satırın ve 1. sütunun tamamının üzerini çiz. Kalan elamanları
  2 x 2 bir matris şeklinde yaz:
- ~~1 5 3~~
  2 4 7
  4 6 2
4
2 x 2 matrisin determinantını bul. ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ matrisinin, ad - bc şeklinde bir determinantı olduğunu hatırla.^{[1]
X
Kaynağı araştır} Bunu 2 x 2 matrisin üzerine bir X çizerek öğrenmiş olabilirsin. X’in \ bacağıyla bağlantılı olan iki rakamı çarp. Daha sonra, / bacağının bağlantılı olduğu iki sayının çarpımını birbirinden çıkart. Bu formülü kullanarak az önce elde ettiğin matrisin determinantını hesapla.
- Örneğimizdeki matrisin determinantı ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- Bu determinanta orijinal matrisimizde seçtiğimiz elementin minör’ü denir.^{[2]
  X
  Kaynağı araştır} Bu örnekte biz a₁₁ ‘in minörünü bulduk.
5
Seçtiğin eleman ile bulduğun sonucu birbiriyle çarp. Unutma, hangi satır ve sütunu çizeceğine karar verdiğinde, referans aldığın satırdan (ya da sütundan) bir eleman seçtin. Bu elemanı, az önce hesapladığın 2x2 matrisin determinantıyla çarp.
- Örneğimizde, değeri 1 olan a₁₁’i seçtik. Bunu -34 (2x2 matrisinin determinantı) ile çarp ve 1*-34 = -34’ü elde et.
6
Cevabının işaretini belirle. Ardından, seçmiş olduğun elemanın kofaktörünü bulmak için cevabını 1 ya da -1 ile çarpacaksın. Hangisiyle çarpacağın, seçilen elemanın örneğimizdeki 3x3 matriste nerede yer aldığına bağlı olacaktır. Hangi elemanın hangi işareti aldığını bulmak için bu basit işaret tablosunu ezberle:
- + - +
  - + -
  + - +
- a₁₁’i seçtiğimizden, işareti + olduğu için, sayıyı +1 ile çarparız. (Diğer bir ifadeyle, sayıyı aynı şekilde bırak.) Cevap hâlâ -34’tür.
- Alternatif olarak, işareti (-1)^i+j formülüyle bulabilirsin. Formüldeki i ve j elemanın satır ve sütununu ifade eder. ^{[3]
  X
  Kaynağı araştır}
7
Referans aldığın satır ya da sütundaki ikinci eleman için bu işlemi tekrarla. Satırını ya da sütununu daha önceden daire içine aldığın 3x3 orijinal matrise geri dön. Aynı işlemi bu elemanla tekrarla:
- Bu elemanın yer aldığı satırın ve sütunun üzerini çiz. Bizim örneğimizde, a₁₂ elemanını seç (değeri 5 olan). Birinci satır (1 5 3) ve ikinci sütunun ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ üzerini çiz.
- Kalan elemanlara 2x2 bir matris olarak işlem yap. Örneğimizde, bu ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$ matrisidir.
- Bu 2x2 matrisinin determinantını bul. ad – bc formülünü kullan. (2*2 - 7*4 = -24)
- 3x3 matrisinin seçilen elemanıyla çarp. -24 * 5 = -120
- -1 ile çarpıp çarpmayacağını belirle. İşaret tablosunu ya da (-1)^ij formülünü kullan. İşaret tablosunda – olan a₁₂ elemanını seçtik. Cevabımızın işaretini değiştirmeliyiz: (-1)*(-120) = 120.
8
Üçüncü elemanla aynı işlemi tekrarla. Bulacağın bir tane daha kofaktör var. Referans satırın ve sütunundaki üçüncü terim için kofaktörü hesapla. İşte sana örneğimizdeki a₁₃’ün kofaktörünü nasıl hesaplayacağına dair kısa bir özet:
- 1. satırın ve 3. sütunun üzerine bir çizgi çekerek ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$ matrisini elde et.
- Bu matrisin determinantı 2*6 - 4*4 = -4’tür.
- a₁₃ elemanıyla çarp: -4 * 3 = -12.
- a₁₃ elemanı işaret tablosunda + olduğundan, cevap -12’dir.
9
Elde ettiğin üç sonucu topla. Bu son adımdır. Tek bir satır ya da sütundaki her bir eleman için bir tane olmak üzere, üç tane kofaktör hesapladın. Bunları topla ve işte 3x3 matrisin determinantını buldun.
- Örneğimizdeki determinant -34 + 120 + -12 = 74’tür.
Reklam

Kısım 2 / 2:

Problemi Kolaylaştırmak

1
En çok sıfır yer alan satırı/sütunu referans olarak seç. Herhangi bir satırı veya sütunu referans olarak seçebileceğini unutma. Hangisini seçersen seç aynı cevabı bulacaksın. Sıfırların olduğu bir satır ya da sütun seçersen sadece sıfır olmayan elemanların kofaktörünü hesaplaman gerekecek. İşte nedeni:
- Diyelim ki a₂₁, a₂₂ ve a₂₃ elemanlarının olduğu 2. satırı seçtin. Problemi çözmek için, 2x2 boyutlu üç farklı matrise bakıyor olacağız. Bu matrislere A₂₁, A₂₂ ve A₂₃ diyelim.
- 3x3 matrisinin determinantı a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 'tür.
- Eğer a₂₂ ve a₂₃ elemanlarının ikisi de 0 ise formülümüz a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁| haline gelir. Artık sadece tek bir elemanın kofaktörünü hesaplamamız gerekiyor.
2
Matrisi kolaylaştırmak için satır toplamını kullan. Eğer bir satırdaki değerleri alıp başka bir satıra eklersen bu matrisin determinantı değişmez. Aynı şey sütunlar için de geçerlidir. Matriste mümkün olduğunca fazla sıfır elde etmek için bu işlemi tekrar tekrar yapabilir ya da toplama işleminden önce değerleri sabit bir sayıyla çarpabilirsin. Bu sana bolca zaman kazandıracaktır.
- Örneğin, 3x3 şöyle bir matrisin olsun: ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
- a₁₁ yerindeki 9’u sıfırlamak için, ikinci satırı -3 ile çarpabilir ve çıkan sonucu ilk satıra ekleyebiliriz. Yeni ilk satırımız [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] 'dir.
- Yeni matris ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ 'dir. Aynı işlemi sütunlara uygulayarak a₁₂’yi de 0’a dönüştürmeye çalış.
3
Üçgensel matrislerin kısa yolunu öğren. Bu özel durumlarda, determinant ana köşegen boyunca sol üstteki a₁₁'den, sağ alttaki a₃₃'e kadar olan elemanların çarpımına eşittir. Hâlâ 3x3 matrislerden bahsediyoruz fakat "üçgensel" matrislerin sıfıra eşit olmayan özel kalıpları vardır:^{[4]
X
Kaynağı araştır}
- Üst üçgensel matris: Sıfırdan farklı olan elemanların hepsi ana köşegenin üzerinde veya üst tarafında yer alır. Köşegenin altında kalan değerlerin hepsi sıfırdır.
- Alt üçgensel matris: Sıfırdan farklı olan elemanların hepsi ana köşegenin üzerinde veya alt tarafında yer alır.
- Köşegen matris: Sıfırdan farklı olan elemanların hepsi ana köşegenin üzerindedir. (Yukarıda belirtilenlerin alt kümesidir.)
Reklam

İpuçları

Bir satır veya sütundaki bütün elemanlar 0 ise bu matrisin determinantı 0’dır.
Bu method her boyuttaki kare matrise uygulanabilir. Örneğin, bu formül 4x4 bir matriste kullanılırsa "üzerini çizme" yöntemiyle 3x3 bir matris elde edersin ve determinantını yukarıda anlatıldığı şekilde hesaplarsın. Bizden söylemesi, elle çözüldüğünde içinden çıkılmaz bir hâle dönüşebilir!

Reklam