Üçüncü Dereceden Denklem Nasıl Çözülür?

Ortak yazar: wikiHow Kadrosu

Bu Makalede:İkinci Dereceden Denklem Formülü ile ÇözmekÇarpan Listesiyle Tam Sayılı Çözümler Bulmak"Diskriminant" Yaklaşımını Kullanmak

Üçüncü dereceden (kübik) bir denklemle (ax3 + bx2 + cx + d = 0 şeklindedir) ilk karşılaştığında, neredeyse hiç çözülemez gibi gözükebilir. Ancak, üçüncü dereceden denklemleri çözme yöntemi yüzyıllardır var olmuştur! 1500'lerde İtalyan matematikçiler Niccolò Tartaglia ve Gerolamo Cardano tarafından keşfedilen üçüncü dereceden denklemleri çözme yöntemi, eski Yunanlılar ve Romalılar tarafından bilinmeyen ilk formüllerden biriydi. Üçüncü dereceden denklemlerin çözülmesi oldukça zor olabilir, ancak doğru yaklaşımla (ve iyi bir temel bilgi birikimi ile) en zorlu üçüncü dereceden denklemler bile ehlileştirilebilir.

1
İkinci Dereceden Denklem Formülü ile Çözmek

  1. 1
    Kübik denkleminde sabit bir değerin olup olmadığını kontrol et. Yukarıda belirtildiği gibi üçüncü dereceden denklemler şeklindedir. , ve denklemin kübikliğini etkilemeden olabilir — bu da temel olarak, kübik bir denklemin kübik olmak için , ya da terimlerinin tamamını içermesi gerekmediği anlamına gelir. Nispeten kolay olan bu kübik denklem çözme yöntemini kullanmaya başlamak için denkleminin sabit bir değere (yani, değeri) sahip olup olmadığını kontrol et. Eğer yoksa, küçük bir matematiksel işlem yaptıktan sonra denklemin cevaplarını bulmak için ikinci dereceden denklemi kullanabilirsin.
    • Diğer taraftan, eğer denklemin bir sabit içeriyorsa, başka bir çözüm yöntemi kullanman gerekir. Alternatif yaklaşımlar için aşağıya bak.
  2. 2
    Denklemi parantezine al. Denklemde bir sabit olmadığından dolayı denklemdeki her terimin içinde bir değişkeni bulunur. Yani, denklem parantezine alınarak basitleştirilebilir. Bunu yap ve denklemi formunda tekrar yaz.
    • Örneğin; başlangıç kübik denklemimiz olsun. Bir çarpanını denklemin dışına alırsak, denklemini elde ederiz.
  3. 3
    Parantez içindeki kısmı çözmek için ikinci dereceden denklem formülünü kullan. Parantez içinde yer alan yeni denkleminin bir kısmının ikinci dereceden bir denklemin () yapısında olduğunu fark etmiş olabilirsin. Yani, , , ve değerlerini ikinci dereceden denklem formülünde () yerine koyduktan sonra denklemi sıfıra eşitleyerek değerleri bulabiliriz. Kübik denklemin iki cevabını da bulmak için bunu yap.
    • Örneğimizde, ikinci dereceden denklemde , ve değerlerimizi (sırasıyla , ve ) aşağıdaki gibi yerine koyuyoruz.
    • Cevap 1:
    • Cevap 2:
  4. 4
    Üçüncü dereceden denklemin cevabı olarak sıfır ve ikinci derecede denklemden elde ettiğin cevapları kullan. İkinci dereceden denklemlerde iki çözüm bulunurken üçüncü dereceden denklemlerde üç çözüm vardır. Problemin parantez içindeki "ikinci dereceden" kısmı için bunlardan ikisini zaten buldun. Denkleminin bu "çarpan" metodu için uygun olduğu durumlarda, üçüncü cevabın daima olacaktır. Tebrikler! Kübik denklemini çözdün.
    • Bunun işe yaraması, bir sayının sıfır ile çarpımının sıfıra eşit olması ile ilgilidir. Denklemini şeklinde çarpanlarına ayırdığında, esasında onu ikiye bölmüş olursun: yarımlardan biri soldaki değişkeni, diğeri de parantez içindeki ikinci dereceli kısımdır. Eğer bu "yarım"lardan biri sıfıra eşit olursa, denklemin tamamı da sıfır olur. Böylelikle parantez içindeki ikinci dereceli "yarımı" sıfıra eşitleyen iki cevap, kübik denklemin de cevabıdır ve aynı şekilde sol "yarımı" sıfıra eşitleyen değeri de.

2
Çarpan Listesiyle Tam Sayılı Çözümler Bulmak

  1. 1
    Üçüncü dereceden denklemin de bir sabitinin bulunduğundan emin ol. Yukarıda açıklanan yöntemi kullanmak için herhangi bir yeni matematiksel beceri öğrenmek zorunda olmadığın için uygun bir yöntemdir, ancak üçüncü dereceden denklemleri çözmen için her zaman yardımcı olmaz. Eğer formundaki denklem değeri için sıfırdan farklı bir değere sahipse, yukarıdaki çarpan numarası işe yaramaz. Bu nedenle, çözüm için ya bu bölümdeki ya da aşağıdaki yöntemi kullanman gerekecek.
    • Örneğin; elimizde denkleminin olduğunu varsayalım. Bu durumda, eşittir işaretinin sağ tarafında elde etmek için her iki tarafa eklememiz gerekir. Yeni denklemimiz olan ’da olduğu için, yukarıdaki çarpan numarasını kullanamayız.
  2. 2
    ve çarpanlarını bul. Kübik denklemi çözmeye ( teriminin katsayısı) ve (denklemin sonundaki sabit) çarpanlarını bularak başla. Hızlı bir hatırlatma yapalım; çarpanlar, başka bir sayı oluşturmak için birbirleriyle çarpılabilen sayılardır. Örneğin; ve , ’ya eşittir; dolayısıyla , , , ve , ’nın çarpanlarıdır.
    • Örnek problemimizde, ve 'dır. ’nin çarpanları ve ’dir. ’nın çarpanları , , ve ’dır.
  3. 3
    ’nın çarpanlarını ’nin çarpanlarına böl. Sonra, ’nın her çarpanını ’nın her çarpanına bölerek elde ettiğin değerlerin bir listesini yap. Bunun sonucunda genellikle çok fazla kesirli ve birkaç tam sayı elde edilir. Kübik denkleminin tamsayı çözümleri ya bu listedeki tam sayılardan biri veya bu sayılardan birinin negatifi olacaktır.
    • Denklemimizde ’nın çarpanlarını (, ) ’nin çarpanlarına (, , , ) bölersen şu liste elde edilir: , , , , ve . Sonra, listeyi tamamlamak için negatifleri ekleriz: , , , , , , , , , , ve . Kübik denklemimizin tamsayı çözümleri bu listede bir yerdedir.
  4. 4
    Sentetik bölmeyi kullan veya cevaplarını elle kontrol et. Değerler listesini elde ettikten sonra, her bir tam sayıyı hızlı bir şekilde yerine koyup hangilerinin sıfıra eşit olduğunu bularak kübik denklemin tam sayı cevaplarını bulabilirsin. Ancak, buna zaman harcamak istemiyorsan, sentetik bölme denen biraz daha hızlı bir yöntemi kullanabilirsin. Esas olarak, tam sayı değerlerini kübik denklemdeki asıl , , ve katsayılarına böleceksin. Eğer kalan olursa elindeki değer kübik denklemin cevaplarından biridir.
    • Sentetik bölme karışık bir konudur — daha fazla bilgi için yukarıdaki bağlantıya bak. İşte, sentetik bölme ile kübik denklemimizin çözümlerinden birini nasıl bulacağımıza bir örnek:
      -1 | 2 9 13 6
      __| -2-7-6
      __| 2 7 6 0
      Kalan olduğundan, kübik denklemimizin tam sayı çözümlerinden birinin olduğunu biliyoruz.

3
"Diskriminant" Yaklaşımını Kullanmak

  1. 1
    , , ve değerlerini yaz. Bu kübik denklem çözümü bulma yöntemi için denklemimizde yer alan terimlerin katsayılarıyla ciddi ölçüde ilgileneceğiz. Bu nedenle, daha sonra unutmamak için başlamadan önce , , ve terimlerini kayıt altına almak akıllıca olur.
    • Örneğin; denklemi için, , , ve yazalım. Unutma ki, bir değişkeninin katsayısı olmadığında, katsayısının olduğu kabul edilir.
  2. 2
    ifadesini hesapla. Kübik bir denklemin çözümünü bulmak için kullanılan diskriminant yaklaşımı biraz karmaşık matematik gerektirir, ancak işlemi dikkatli bir şekilde takip edersen, başka türlü çözümü zor olan kübik denklemleri çözmek için paha biçilmez bir yöntem olduğunu göreceksin. Başlangıçta, formülüne uygun değerleri koyarak ihtiyacımız olan birkaç önemli miktarın ilki olan değerini bul.
    • Örneğimizi aşağıdaki gibi çözeceğiz:
      b2 - 3ac
      (-3)2 - 3(1)(3)
      9 - 3(1)(3)
      9 - 9 = 0 = Δ0
  3. 3
    Δ1= 2b3 - 9abc + 27a2d ifadesini hesapla. İhtiyacımız olan bir sonraki önemli miktar, Δ1, biraz daha fazla çalışma gerektirir ancak esasında Δ0 ile aynı şekilde bulunur. Δ1 değerini elde etmek için uygun değerleri 2b3 - 9abc + 27a2d formülünde yerine koy.
    • Örneğimizi aşağıdaki gibi çözeceğiz:
      2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
      2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
      -54 + 81 - 27
      81 - 81 = 0 = Δ1
  4. 4
    Δ = (Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2 ifadesini hesapla. Sonra, Δ0 ve Δ1 değerlerinden küpün diskriminant değerini hesaplayacağız. Bir diskriminant bize bir polinomun kökleri hakkında bilgi veren bir sayıdır (zaten kuadratik diskriminantı biliyor olabilirsin: b2 - 4ac). Kübik denklemde, eğer diskriminant pozitif ise, o zaman denklemin üç gerçek çözümü vardır. Eğer diskriminant sıfır ise, o zaman denklemin bir ya da iki gerçek çözümü vardır ve bu çözümlerin bazıları ortaktır. Eğer negatif ise, denklemin sadece bir çözümü vardır. (Kübik bir denklem her zaman en az bir gerçek çözüme sahiptir, çünkü grafik daima x-ekseninden en az bir kez geçecektir.)
    • Örneğimizde, Δ0 ve Δ1 = 0 olduğundan, Δ’yı bulmak çocuk oyuncağı olacak. Aşağıdaki gibi çözeceğiz:
      (Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2
      ((0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
      0 - 0 ÷ 27
      0 = Δ, yani denklemimizin 1 veya 2 cevabı var.
  5. 5
    C = 3√((√(Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2) ifadesini hesapla. Hesaplamamız gereken son önemli değer C dir. Bu önemli miktar nihayet üç kökü bulmamızı sağlayacak. Çözümü normal şekilde yap, gerektiğinde Δ1 ve Δ0 değerlerini değiştir.
    • Örneğimizde, C’yi aşağıdaki gibi bulacağız:
      3√(√((Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2)
      3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
      3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
      0 = C
  6. 6
    Değişkenlerinle üç kökü hesapla. Kübik denkleminin kökleri (cevapları) -(b + unC + Δ0/(unC)) / 3a formülü ile bulunur ve burada u = (-1 + √(-3))/2 ve n 1, 2 ya da 3’tür. Çözmek için değerlerini gerektiği gibi yerine koy — bu çok sayıda matematiksel işlem yapmayı gerektirir, ancak sonunda üç uygulanabilir cevap elde etmelisin!
    • Örneğimizde, n değeri 1, 2 ve 3'e eşit olduğunda cevabı kontrol ederek çözümü elde edebiliriz. Bu testlerden elde ettiğimiz cevaplar kübik denklemimizin olası cevaplarıdır — denklemde yerine konulduğunda 0 cevabı veren herhangi bir değer doğrudur. Örneğin; testlerimizden birinde 1 cevabı elde ettiysek, x3 - 3x2 + 3x - 1 denkleminde 1 değerini yerine koyarsak 0 cevabını verir, böylelikle 1, kübik denklemimizin cevaplarından biridir.

Makale Bilgisi

Bu makale editörler ve araştırmacılardan oluşan, makalenin doğruluğu ile kapsamlılığını onaylayan, eğitimli bir ekip tarafından ortaklaşa yazılmıştır.

Kategoriler: Eğitim ve İletişim

Diğer dillerde:

English: Solve a Cubic Equation, Português: Resolver uma Equação Cúbica, Русский: решать кубические уравнения, Français: résoudre une équation cubique, Italiano: Risolvere un'Equazione Cubica, Español: resolver una ecuación cúbica, Bahasa Indonesia: Menyelesaikan Persamaan Kubik, Deutsch: Eine kubische Gleichung lösen, Nederlands: Een derdegraadsvergelijking oplossen, ไทย: แก้สมการกำลังสาม, العربية: حل معادلة تكعيبية, Tiếng Việt: Giải phương trình bậc ba, 中文: 解三次方程, हिन्दी: क्यूबिक इक़्वेशन सॉल्व करें (Solve a Cubic Equation)

Bu sayfaya 8.405 defa erişilmiş.
Bu makale işine yaradı mı?