Üçüncü Dereceden Bir Polinom Çarpanlarına Nasıl Ayrılır?

Yazar bilgileri

Bu wikiHow makalesi 3’üncü dereceden (kübik) bir polinomun çarpanlarına nasıl ayrıldığıyla ilgilidir. Gruplandırmanın yanı sıra sabit terimi bölenlerine ayırarak da polinomun çarpanlarına nasıl ayrıldığını bulacağız.

Kısım 1 / 2:

Gruplandırarak Çarpanlarına Ayırma

1
Polinomu iki kısımda gruplandır. Polinomu iki kısımda gruplamak her bir kısmı ayrı ayrı çözmene imkan sağlayacaktır.
- Diyelim ki x³ + 3x² - 6x - 18 = 0 polinomunu çözüyoruz. Bu polinomu (x³ + 3x²) ve (- 6x - 18) olarak gruplandıralım.
2
Her bir kısımda neyin ortak olduğunu bul.
- (x³ + 3x²)‘ye baktığımızda, x²‘nin ortak olduğunu görebiliriz.
- (- 6x - 18)’e baktığımızda, -6’nın ortak olduğunu görebiliriz.
3
İki terimde de ortak olanları parantez dışına çarpan olarak al.
- İlk kısımda x² parantez dışına alınırsa x²(x + 3) elde ederiz.
- İkinci kısımda -6 parantez dışına alınırsa -6(x + 3) elde edersin.
4
Eğer iki terimin de her biri ortak çarpanı içeriyorsa bu çarpanları birleştirebilirsin.
- Bu sana (x + 3)(x² - 6)’yı verir.
5
Köklere bakarak çözümü bul. Eğer köklerinde x² varsa pozitif ve negatif değerlerin ikisinin de bu denklemi sağladığını unutma.
- Çözümler -3, √6 ve -√6‘dır.
Reklam

Kısım 2 / 2:

Sabit Terimi Kullanarak Çarpanlarına Ayırma

1
Denklemi ax³+bx²+cx+d biçiminde olacak şekilde yeniden düzenle.
- Diyelim ki şu eşitliği çözüyorsun: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
2
"d"nin bütün çarpanlarını bul. Sabit olan "d", yanında "x" gibi herhangi bir değişkeni olmayan bir sayı olacaktır.
- Çarpanlar, başka bir sayı elde etmek için birbiriyle çarpabileceğin değerlerdir. Senin denkleminde, 10’un ya da "d"’nin çarpanları: 1, 2, 5 ve 10’dur.
3
Polinomun sıfıra eşit olmasını sağlayan çarpanı bul. Denklemde her bir "x" yerine hangi değer konulursa denklem sıfıra eşit olur belirlemeliyiz.
- İlk çarpan olan 1'i kullanarak başla. Denklemdeki her bir "x" yerine "1" koy:
  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0.
- Bu sana şunu verir: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- 0 = 0 bir gerçek ifade olduğundan, x = 1'in bir çözüm olduğunu görebilirsin.
4
Küçük bir düzenleme yap. Eğer x = 1 ise ifadenin anlamını değiştirmeden görüntüsünü biraz değiştirerek ifadeyi yeniden düzenleyebilirsin.
- "x = 1", "x - 1 = 0" ya da "(x - 1)" ile aynı şeydir. Sadece eşitliğin her iki tarafından "1" çıkarmış oldun.
5
Denklemin kalanında bulunan kökü parantez dışına al. "(x - 1)" bizim kökümüz. Kökü, denklemin geri kalanından çarpan olarak alıp alamayacağına bak. Her defasında bir polinom al.
- x³‘ü (x - 1) parantezine alabilir misin? Hayır alamazsın. Ama ikinci değişkenden x²‘yi alabilir ve sonra çarpanlarına ayırabilirsin: x²(x - 1) = x³ - x².
- İkinci değişkende, kalan kısmı (x - 1) çarpanına ayırabilir misin? Hayır, yine ayıramazsın. Üçüncü değişkenden birazcık daha alman gerekir. -7x’den 3x alman gerekir. Bu sana -3x(x - 1) = -3x² + 3x’i verecek.
- -7x’ den 3x aldığından, üçüncü değişkenimiz artık -10x ve sabit sayımız 10’dur. Bunu çarpanlarına ayırabilir misin? Elbette ayırabilirsin! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Yaptığın şey değişkenleri yeniden düzenleyerek, bütün denklemi (x - 1) çarpanına almaktı. Yeniden düzenlenen denklemin şu şekilde görünür: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0 ama hâlâ x³ - 4x² - 7x + 10 = 0 ile aynı denklem.
6
Sabit terimin çarpanlarını yerine koyarak devam et. Beşinci adımda (x - 1) kullanarak çarpanlarına ayırdığın değerlere bak:
- x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Bunu daha kolay çarpanlarına ayırmak için bir kez daha düzenleyebilirsin: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
- Burada sadece (x² - 3x - 10)‘i çarpanlarına ayırmaya çalışıyorsun. Bu çarpanlar (x + 2)(x - 5)‘e dönüşür.
7
Çözümlerin çarpanlardaki köklerin olacaktır. Her bir kökü ayrı ayrı, en baştaki denklemde yerine koyarak çözümün gerçekten işe yarayıp yaramadığını kontrol edebilirsin.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 bu sana 1, -2 ve 5‘ in çözümlerini verir.
- -2’yi denklemde yerine koy: (-2)³ - 4(-2)²- 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- 5’i denklemde yerine koy: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Reklam

İpuçları

Gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılamayan üçüncü dereceden polinomlar yoktur, çünkü her kübik polinomun gerçek bir kökü olmalıdır. x^3 + x + 1 gibi irrasyonel gerçek bir köke sahip kübik polinomlar, tamsayı ya da rasyonel katsayılı çarpanlara ayrılamaz. Kübik formülle çarpanlarına ayrılabilirken, tamsayı polinomu şeklinde sadeleştirilemez.
Üçüncü dereceden polinomlar, birinci dereceden üç polinomun ya da bir birinci dereceden bir polinom ile çarpanlarına ayrılamayan ikinci dereceden bir polinomun çarpımıdır. Bu son durumda, birinci derece polinomu bulduktan sonra ikinci derece polinomu elde etmek için uzun bölme işlemini kullanırsın.

Reklam